對於流形的彎曲，我們可以用兩個協變導數方向的非交換性定義，取一個向量場

w_\rho

，流形的黎曼曲率張量可以定義為

{R_{\mu \nu \rho}}^{\lambda}w_{\lambda}=\left( \nabla _{\mu}\nabla _{\nu}-\nabla _{\nu}\nabla _{\mu} \right) w_{\rho} \\

顯然，如果流形是平坦的，交換協變導數方向不應該有什麼不同。這也能認為是平行移動的非閉合性，所以可以體現流形的彎曲。

按照上面的定義，可以很容易知道它的對稱性。對前兩個指標有反對稱性，對前兩個指標和後兩個指標有主對稱性（Major Symmetry）

R_{\mu \nu \rho \lambda}=-R_{\nu \mu \rho \lambda} \\ R_{\mu \nu \rho \lambda}=R_{\rho \lambda \mu \nu}

這裡利用度規把指標進行了升降，方便表示。並且利用這兩個關係還可以匯出更多的性質，比如3，4指標的反對稱性，但這兩個是最主要的。此外，從外微分的角度看黎曼張量的定義式，它一定滿足某些形式的所謂的Bianchi恆等式，如

R_{\left[ \mu \nu \rho \right] \lambda}=R_{\mu \nu \rho \lambda}+R_{\rho \nu \mu \lambda}+R_{\nu \mu \rho \lambda}=0 \\

但Bianchi恆等式只是對場的一種約束條件，我們這裡更關心黎曼張量的對稱性和不同維度下的性質，所以只要考慮它能給出多少個約束就好。考慮上式和3，4指標的反對稱性，可以給出全反對稱條件

R_{\left[ \mu \nu \rho \lambda \right]}=0

，這裡一共4個指標，對

n

維流形可以給出

n\left( n-1 \right) \left( n-2 \right) \left( n-3 \right) /4!

個約束。

在實際的計算中，如果基於Levi-Civita聯絡的話，協變導數是

\nabla _{\mu}w_{\nu}=\partial _{\mu}w_{\nu}-{\varGamma _{\mu \nu}}^{\rho}w_{\rho}

，也就是說只需要計算克氏符

{\varGamma _{\mu \nu}}^{\rho}=\frac{1}{2}g^{\rho \lambda}\left( \partial _{\mu}g_{\nu \lambda}+\partial _{\nu}g_{\mu \lambda}-\partial _{\lambda}g_{\mu \nu} \right) \\

就能夠計算協變導數，從而計算黎曼張量

{R_{\mu \nu \rho}}^{\lambda}=\partial _{\nu}{\varGamma _{\mu \rho}}^{\lambda}-\partial _{\mu}{\varGamma _{\nu \rho}}^{\lambda}+{\varGamma _{\mu \rho}}^{\kappa}{\varGamma _{\kappa \nu}}^{\lambda}-{\varGamma _{\nu \rho}}^{\kappa}{\varGamma _{\kappa \mu}}^{\lambda} \\

因為1，2指標反對稱，我們要縮並只能縮並1，3指標或2，4指標，給出裡奇（Ricci）曲率張量

R_{\mu \rho}=\partial _{\lambda}{\varGamma _{\mu \rho}}^{\lambda}-\partial _{\mu}{\varGamma _{\lambda \rho}}^{\lambda}+{\varGamma _{\mu \rho}}^{\kappa}{\varGamma _{\kappa \lambda}}^{\lambda}-{\varGamma _{\lambda \rho}}^{\kappa}{\varGamma _{\kappa \mu}}^{\lambda} \\

對於裡奇張量的表示式，我採取的一個記憶辦法是：對於每項右邊的克氏符，是不縮並的減去縮並的，然後縮並的減去不縮並的。由於黎曼張量的主對稱性，裡奇張量是對稱的，進一步縮並得到高斯曲率

R=g^{\mu \rho}R_{\mu \rho}\\

從黎曼張量的縮並過程可以看到，愛因斯坦方程只給出了物質場能動張量與裡奇曲率張量的關係，對於黎曼張量無跡部分，愛因斯坦方程並沒有說它和物質場有什麼關係。但顯然，要完整描述時空流形的幾何，除了裡奇曲率張量，我還必須完整地知道黎曼曲率張量。後面我們會看到，裡奇張量描述的是時空內稟曲率，是由物質造成的真正的彎曲。而黎曼張量的無跡部分，也稱為外爾（Weyl）曲率張量，描述的是時空的外曲率，是由於時空嵌入進高維幾何，或者因為參考系彎曲而造成的曲率，並不是時空內稟的彎曲。

我們先研究黎曼張量的獨立分量。

假設由對稱性和Bianchi恆等式給出的黎曼張量

R_{\mu \nu \rho \lambda}

有

N

個分量，那麼指標

\mu ,\rho

有

m=n^2

種組合的可能性，剩下的指標

\nu ,\lambda

由於與前兩組指標的反對稱性只有

m-1

種可能性，組合時還要除以2表示主對稱性。且Bianchi恆等式給出了指標輪換的關係，1，3指標實際上應當是四個指標任選兩個組成，就有

C_{4}^{2}N=\frac{m\left( m-1 \right)}{2} \\ N=\frac{n^2\left( n^2-1 \right)}{2C_{4}^{2}}=\frac{1}{12}n^2\left( n^2-1 \right)

除此之外，正常一點辦法是，認為

\mu ,\nu

指標反對稱，組合起來有

m=\frac{n\left( n-1 \right)}{2}\\

種情況，而考慮主對稱性，把情況分為無跡對稱部分和對角線項的和

N=m+\frac{m\left( m-1 \right)}{2}=\frac{m\left( m+1 \right)}{2}\\

再減去Bianchi恆等式帶來的約束

N=\frac{1}{8}n\left( n-1 \right) \left[ n\left( n-1 \right) +2 \right] -\frac{n\left( n-1 \right) \left( n-2 \right) \left( n-3 \right)}{4!} \\ =\frac{1}{12}n^2\left( n^2-1 \right)

可以看到，在

n=4

維的時候，黎曼張量有

20

個獨立分量。非常特殊的一個情況是，在

n=2

維的時候，黎曼張量只有

1

個獨立分量。這是顯然的，考慮到反對稱、主對稱，只能有

R_{1212}

這一個分量。而我們知道，黎曼張量縮並再縮並最後會得到高斯曲率。所以在2維情況下，高斯曲率就涵蓋了曲率的全部資訊，應該與黎曼張量有很簡單的關係。我們根據對稱性構造一個式子，並引入一個標量曲率場

K

（實際上並不是嚴格意義上的標量，具有量綱，只是我們習慣把沒有指標的都稱為標量）

R_{\mu \nu \rho \lambda}=2Kg_{\rho \left[ \mu \right.}g_{\left. \nu \right] \lambda}=K\left( g_{\mu \rho}g_{\nu \lambda}-g_{\nu \rho}g_{\mu \lambda} \right) \\

上式的一次縮並、二次縮並給出

R_{\mu \rho}=\left( n-1 \right) Kg_{\mu \rho} \\ R=n\left( n-1 \right) K

可以看出

K

其實就是多了係數的

R

。這樣就有

R_{\mu \nu \rho \lambda}=\frac{R}{n\left( n-1 \right)}\left( g_{\mu \rho}g_{\nu \lambda}-g_{\nu \rho}g_{\mu \lambda} \right) \\

但這關係並不非得是2維時空流形特有的，對於所謂的最大對稱流形，也有這個關係。最大對稱流形的定義是，時空流形具有全部的Killing向量，共

n\left( n+1 \right) /2

個（Monsoon：Killing場（含洛倫茲變換））。正因為最大對稱流形的這種定義，它一定是共形平坦的，也就是整個流形只能存在一個標量的曲率

K

。因此最大對稱流形也稱為常曲率流形。

K>0

對應球面幾何，

K=0

對應平直幾何，

K<0

對應偽球面幾何，也就是雙曲幾何。由於

R=R_{\mu \nu}g^{\mu \nu}

中的度規

g^{\mu\nu}

是無量綱的，

R_{\mu\nu}

根據定義是長度的負二次冪量綱（

\left[ L \right] ^{-2}

）。而球面幾何中唯一有意義的長度是流形的半徑

a

，所以高斯曲率和半徑的關係是

R\propto 1/a^2

。雙曲幾何在考慮符號後可以給出

R\propto -1/L^2

，

L

是雙曲幾何中的半徑。

這種曲率關係還帶來流形上引力理論的一些性質。考慮此時的愛因斯坦方程有

R_{\mu \nu}-\frac{1}{2}g_{\mu \nu}R=8\pi T_{\mu \nu} \\ \left( \left( n-1 \right) K-\frac{1}{2}n\left( n-1 \right) K \right) g_{\mu \nu}=8\pi T_{\mu \nu}

在

n=2

的時候左邊為0。也就是說，雖然2維時空可以具有一個標量曲率，但2維的引力是平庸的，沒有動力學。此外，在

n=3

的時候，黎曼張量有

6

個分量，而裡奇張量也有

n\left( n+1 \right) /2=6

個分量，所以黎曼張量的全部資訊就是裡奇張量。這樣的時空存在全域性的動力學，比如3維反德西特（Anti-de Sitter， AdS）時空就存在全域性的黑洞解。

最後，我們討論一下外爾張量作為結束。

按照定義，外爾張量的形式應該是黎曼張量去除所有可能的縮並

C_{\mu \nu \rho \lambda}=R_{\mu \nu \rho \lambda}-\frac{2}{\left( n-2 \right)}\left( g_{\rho \left[ \mu \right.}R_{\left. \nu \right] \lambda}-g_{\lambda \left[ \mu \right.}R_{\left. \nu \right] \rho} \right) +\frac{2}{\left( n-1 \right) \left( n-2 \right)}Rg_{\rho \left[ \mu \right.}g_{\left. \nu \right] \lambda} \\

雖然外爾張量的縮並都是0，但它保持黎曼張量的全部的對稱性。我們上面看到，3維時空下黎曼張量的全部資訊就是裡奇張量，所以3維的外爾張量恆為0，也就是外爾張量只能在3維以上定義。除了可以描述流形的外曲率，外爾張量還有一個很重要的性質就是在共形變換下不變。那麼一個共形平坦的時空，外爾張量就必須是0。