vlqe06572019-02-01

劉徽是我國三國時代的魏國人，可能是山東人。他曾從事度量衡考校工作，研究過天文曆法，但主要是研究數學。

劉徽自幼就學習《九章算術》，對該書有獨到的研究，他不迷信古人，對《九章算術》中許多問題的解法不滿意，於公元263年完成了《九章算術注》，對《九章算術》的公式和定理給出了合乎邏輯的證明，對其中的重要概念給出了嚴格的定義，為我國古代數學建立了完備的理論。

劉徽創造了一種測量可望而不可即目標的方法，叫做“重差術”。重差術也叫“海島算經”，附在《九章算術》之後，共有九個問題。

劉徽說：“凡望極高，測絕深而兼知其遠者必用重差，勾股則必以重差為率，故曰重差也。”這段話的意思是，重差用於測不可到達物的距離。用兩次測量之差，再利用相似比來進行計算。

“海島算經”的第一個問題是“測海島高及距離。”題目原文是：

“今有望海島，立兩表齊高三丈，前後相去千步，今後表與前表參相直。從前表卻行123步，人目著地取望島峰，與表末參合。從後表卻行一127步，人目著地取望島峰，亦與表末參合。問島高及去表各幾何。”按現代數學浯言譯出，就是：“為了求出海島上的山峰AB的高度，在D和E處樹立標杆DC和EF，標杆高都是3丈，兩標杆相距1000步，AB、CD和EF在同一平面內。從標杆DC退後123步到G點，看到島峰A和標杆頂端C在一條直線上；從標杆FE退後127步到H點，也看到島峰A和標杆頂端正在一條直線上。求島峰高AB及水平距離BE。”

為解此題，可令標杆高為h，兩標杆的距離為d，第一次退a1，第二次退a2。又設島高為x，BE為y。

按劉徽的作法是，作EL∥AG交BH於L點。

∵△ELH～△ACE

△EHF～△AEK

∴ECHL=AEEH·AEEH=AKEF

∴ECHL=AKEF

已知EC=DF=d，HL=FH-FL=FH-DG=a2-a1，EF=h，可得：

da2-a1=AKh，AK=da2-a1h

x=AK+h=da2-a1h+h

又∵△CDG～△AKC

∴KCDG=AKCD

已知KC=yDG=a1AK=da2-a1hCD=h所以

ya1=da2-a1hh

y=da2-a1a1

在上面公式裡da2-a1是兩個差數之比，所以叫重差術，也有人說因為兩次用的差a2-a1，所以叫重差。

劉徽也得到了上面的公式，其公式為：

島高=表高×表間後表卻行-前表卻行+表高

其中“表”就是標杆，“卻行”就是後退。

將“海島算經”第一題的資料代入公式，可得x=1506步，y=30750步。

“海島算經”本來不獨立成書，是附在《九章算術》中“勾股”章後面的一個附錄，主要講用勾股定理進行測量的補充和發展。到公元7世紀唐朝初年，才從《九章算術》中抽出來成為一部獨立著作。因為第一題是關於測量海島的高和遠，所以起名《海島算經》。

現傳本《海島算經》的九個問題中，有三個問題需要觀測兩次；有四個問題要觀測三次；還有兩個問題要觀測四次。所有的觀測和計算，都是應用相似三角形對應邊成比例進行的，雖然沒有引入三角函式，但是利用線段之比，同樣可得結果。

重差術是我國數學上的一個創造。