本章是基帶傳輸訊號的數字化過程，而下一章就是帶通的了

本章節的頻率分析較多，寫的比較複雜，主要是將一些不在課本里的證明內容展開來說

１。資訊的傳輸度量

通訊原理Ⅰ　第五章　數字訊號的基帶傳輸

2。 數字基帶訊號

通訊原理Ⅰ　第五章　數字訊號的基帶傳輸

2。1 常用的數字訊號波形

① 極性：單極性的碼元為

\{A,0\}

，雙極性為

\{A,-A\}

雙極性碼元

沒有直流分量

② 歸零不歸零：高電平佔比不同：歸零為高電平訊號在傳輸週期

T_b

上回落為0，下圖是50%佔空比回落

③ 帶有直流分量的編碼方式一定在功率譜上有離散分量，而單極性不歸零碼經與單極性歸零碼區別在於分量的多少，下方有整體推導。

通訊原理Ⅰ　第五章　數字訊號的基帶傳輸

2。2 功率密度譜分析（簡化版）

我們以最簡單的二進位制數字PAM訊號分析：

s(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n g(t-nT_s)\to\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n \delta(t-nT_s)\otimes g(t)

我們理解為：先確定傳送訊號序列

\{a_n\}

後，透過濾波器調製發射為數字訊號

這要求我們對於數字濾波器

g_T(t)

有是矩形脈衝訊號，在模擬域下用數字訊號表示

我們對於功率譜分析從：

P_s(f) = P_d(f)|G(f)|^2

出發

\begin{align} &令d(t) =\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n \delta(t-nT_s),是迴圈平穩過程\\ &\overline R_d(t,t+\tau)= \frac{1}{T_s}\int _{-\frac{T_s}{2}}^{\frac{T_s}{2}} E\{d(t)·d(t+\tau)\}dt\\ \to&\sum_n\sum_kR_a(n-k)\delta((n-k)T_s+\tau)\frac{1}{T_s}\int _{-\frac{T_s}{2}}^{\frac{T_s}{2}}\delta(t-nT_s)dt\\ m=n-k\to& \overline R_d(t,t+\tau)=\frac{1}{T_s}\sum_mR_a(m)\delta(mT_s+\tau)\\ \to & \color{red}{P_d(f) = \frac{1}{T_s}\sum_mR_a(m)e^{-j2\pi f·mT_s} } \end{align}\\

以下討論兩種特殊的情況：

① 當a_n為零均值、獨立時：

R_a(m)=E[a_na_{n+m}]\to \begin{cases} \sigma^2_{a}& m=0\\ 0& else\end{cases}\\ \\ \color{red}{P_s(f) = \frac{\sigma_a^2}{T_s}|G(f)|^2}\\

②當a_n為非零均值、

\color {red}{獨立}

：

d(t) =\sum_{n=-\infty}^{+\infty}(m_a+c_n) \delta(t-nT_s),其中c_n=a_n-m_a\\ \to \color{red}{P_s(f)=\frac{\sigma^2_a}{T_s}|G(f)|^2 } + \color{blue}{\frac{m_a^2}{T_s^2}\sum _k |G(\frac{k}{T_s})|^2\delta(f-\frac{k}{T_s})}

藍色部分推導：

\\d

核心推導：離散訊號的自相關函式的求解

當

R_a(\tau)

不是中

a_n

不再獨立時，需要特別求解

R_a(m)

補充：解決單極性直流分量的問題：

對應的不就是a_n均值非零且獨立麼?只有發射濾波器g_T(t)有區別

Ⅰ ：單極性不歸零碼

單極性不歸零編碼方式，

a_n\in \{0,1\}

則一定會有直流分量產生，我們可以透過假設：

①濾波器為

g_T(t)=Rect(\frac{t}{T_b})，其中傳輸時間為T_b

②編碼資訊相互獨立

\color{red}{P_s(f) = \frac{ \sigma_a^2}{T_s}|G(f)|^2}+ \color{blue}{\frac{m_a^2}{T_s^2}\sum _k |G(\frac{k}{T_s})|^2\delta(f-\frac{k}{T_s})}\\ Rect(\frac{t}{T_b})\leftrightarrow T_bsinc(T_bf)\to |G(f)|^2=T_b^2sinc^2(T_bf)\\ \color {blue} {f= \frac{k}{T_s}時有:|G(f)|^2=0(k\neq0)}

Ⅱ：單極性歸零碼

下式為佔空比為50%時的情況，能夠反映一些問題：

\color{red}{P_s(f) = \frac{\sigma_a^2}{T_s}|G(f)|^2}+ \color{blue}{\frac{m_a^2}{T_s^2}\sum _k |G(\frac{k}{T_s})|^2\delta(f-\frac{k}{T_s})}\\ Rect(\frac{2t}{T_b})\leftrightarrow \frac{T_b}{2}sinc(\frac{T_b}{2}f)\to |G(f)|^2=(\frac{T_b}{2})^2sinc^2(\frac{T_b}{2}f)\\ \color {blue}{ f= \frac{k}{T_s}時有:|G(f)|^2\neq0}

則再回到上邊的表中，RZ的功率頻譜圖上，我們發現在

f=\frac{k}{T_s}

上有離散分量。

3。 常用碼型路線

通訊原理Ⅰ　第五章　數字訊號的基帶傳輸

不太清楚。。。

4。 AWGM 通道接收分析

通訊原理Ⅰ　第五章　數字訊號的基帶傳輸

4。1 時域分析

我們此處分析一個較為典型的RZ碼傳輸流程，具體的如單極性不歸零碼可以延展分析

透過AWGM通道、輸入低通濾波器訊號為：

r(t) = \sum_n a_ng_T(t-nT_s)+n_w(t)\\

4。2 功率譜分析

值得提一嘴，因為在此處分析的噪聲是隨機過程，所以對噪聲求F變換是沒有意義的，隨機過程在功率上是有規律可循的。

① 匹配濾波器

我們已知訊號在0~Tb時間內接受的訊號為一個確定訊號

s_k(t) = a_kg(t)\quad 0<t<T_b

則對於該段時間而言的匹配濾波器為：

h(t) = s_k(T_b-t)\quad 0<t<T_b

而匹配濾波器有采集能量的性質：

y(t_0)\big|_{\small t_0=T_b} = \int_{\infty}h(\tau)s(t_0-\tau)d\tau\to \int_{\infty} [±s(T_b-\tau)]·s(T_b-\tau)d\tau\to E_s\\\space \\ \color{red}{y(t_0)|_{t_0=T_b}=±E_s}\\

而噪聲功率譜與功率為：

P_n(f) = \frac{N_0}{2}|H_R(f)|^2\\ \to \overline P_n = \frac{N_0}{2}·E_s

則當匹配濾波器匹配時的最大信噪比為：

(SNR)_o =\frac{y^2(T_b)}{E[n^2(t_0)]}= \frac{2E_s}{N_0}\\

② 誤位元率計算

第一部分：引出機率圖

①中使用匹配濾波器來讓輸出信噪比達到最大，而此處就要對於該輸出訊號的誤位元率進行估計。

高斯白噪聲輸出：

\sigma^2 = \overline P_n =\frac{N_0}{2}·E_s\\ y_n 是一個N(0,\frac{N_0·E_s}{2})的高斯過程

則我們透過時域判斷：

\color{red}{y_o=±E_s+y_n}\\

則能夠繪製下圖，時域選擇圖，傳送

s_1

時對應右邊高斯分佈，判定點

V_T=0

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第二部分：誤位元率計算

假設傳送訊號A，則

Pr\{e|s_1\}=Pr\{y_n+E_s<V_T\}=Pr\{y_n<-E_s\}=Q(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}})

由對稱性得，傳送訊號-A有：

Pr\{e|s_2\}=Pr\{y_n+E_s<V_T\}=Pr\{y_n>E_s\}

Pr_b=Pr(s_1)Pr\{e|s_1\}+Pr(s_2)Pr\{e|s_2\} = Q(\sqrt{\frac{2E_s}{N_0}})

③ 確定最佳門限

V_T

：平均誤位元率最小

\color {red}{\frac{\partial Pr_b}{\partial V_T}=0\to V_T = \frac{\sigma^2}{2E_b}\ln \frac{Pr(s_2)}{Pr(s_1)}}\\ Pr_b=Pr(s_1)\int_{-\infty}^{V_T}p(y|s_1)dy+Pr(s_2)\int_{V_T}^{+\infty}p(y|s_2)dy\to \\ \frac{\partial Pr_b}{\partial V_T}= Pr(s_1)p_1(V_T|s_1)+Pr(s_2)p_2(V_T|s_2)=0\\ \to \color{blue}{ 後帶入分佈p_1,p_2即可求得V_T}:\begin{cases} ① \quad V_T=\frac{\sigma^2}{2E_b}\ln \frac{Pr(s_2)}{Pr(s_1)}&a_n\in \{-A,A\}\\ ② \quad V_T = \frac{E_s}{2}+\frac{\sigma^2}{2E_b}\ln \frac{Pr(s_2)}{Pr(s_1)} & a_n\in \{0,+A\} \end{cases}