有界二維平面內任意四點形成凸四邊形的機率？知乎使用者2015-11-05 19:41:02

四邊形是1/2（凹四邊形的第四個點一定落在另外三個點形成的三角形內部或者三角形三個角的對頂角區域，由於三角形面積和整個無界平面面積之比為零，所以，三角形可以看作一個點，因而……不想寫了，自己畫畫圖領會精神）

問題是錯的，並不能隨機取點，所以上面回答也就錯了

有界二維平面內任意四點形成凸四邊形的機率？舒自均2015-11-07 19:41:36

沒事多讀書，不要自己瞎想。

給個比較像答案的答案吧

25%。

有界二維平面內任意四點形成凸四邊形的機率？「已登出」2015-11-07 20:18:29

無界的話是1/2，有界的話和邊界形狀有關

任意三點不共線，互相連線後延長，把平面分成6個大區域，其中三個區域內落第四個點為突四邊形，另外三個為凹四邊形，這幾個區域所佔的角度互為對頂角，所以1/2

第四個點在三角形內或邊界上的機率為0

有界二維平面內任意四點形成凸四邊形的機率？Aria2016-01-26 21:11:01

少年你這個大坑挖的。。。（從11月拖到現在答。。。懶癌已棄療／手動斜眼）

無界區域的情況就像 @vczh 大神的答案＝ ＝對夾角

\theta

從0到

\pi

取積分，機率就是1/4。

但問題問的是有界情況。。。這就扯著O了_（┐「ε：）_

這個問題和Sylvester‘s four-point problem很相似。Sylvester’s four-point problem 求的是在平面（暫且認為它和

\mathbb{R}^2

同胚）的任意一凸集

K

獨立隨機均勻取四個點，

不考慮連線順序，

構成凹四邊形（四個點的閉包是三角形）的機率

P(K)

。從Sylvester 1864年提出到現在，問題也沒有通常意義下的“標準答案”，而是隨

K

的形狀而變化，只有一些特殊形狀（多邊形、圓／橢圓）下的機率。

而且如果不考慮連線順序，這個機率就等於#FormatImgID_7#,因為二維平面上四個點要麼構成凸四邊形，要麼是凹四邊形。

具體到每種形狀的證法很複雜，我只試著說下大體的思路，可以看參考文獻＝w＝

上面提到了凹四邊形其實是

v_4\in\Delta v_1v_2v_3

這樣的情況，所以其實可以這樣寫

P(K)=4P\{v_4\in\Delta v_1v_2v_3|v_i\in K, v^4_{i=1}\in K\}

，之所以乘以4是取點的隨機性，也可以寫成

C^1_4

（組合數性質）。Thus，（公式編輯器不支援中文0。0）

P(K)&=&P(\text{reentrant quadrilateral})\\ &=&4P(\text{one point inside the triangle formed by the other 3})\\ &=&4 ~\text{mean area of Triangle}/\text{Area of}~K\\ &=&4M(K)/A(K)

其中面積

M(K)

就是三點構成三角形平均面積，

M(K)=1/A^3(K)\cdot\iint_{P\in K}\iint_{Q\in K}\iint_{R\in K}\frac{1}{2}\left| \begin{array}{ccc}1&x_1&y_1\\1&x_2&y_2\\1&x_3&y_3\end{array}\right| dy_3 dy_2 dy_1 dx_3 dx_2 dx_1

有界二維平面內任意四點形成凸四邊形的機率？

有界二維平面內任意四點形成凸四邊形的機率？

即對這個三角形面積在每一個座標上取積分平均。剩下就是根據各種形狀的

A(K)

值分別計算了。還是拿圓舉例子，

A(K)=\pi r^2

，

M(K)=\iiint_{(x^2+y^2)^3_{i=1}<r^2}|\Delta|\Pi^3_{i=1}(dx_idy_i)/(\pi r^2)=\frac{35r^2}{48\pi}

（這個可以把xy化成極座標求積，講真無比繁瑣。。。我是懶得算了，交給matlab君好了）

然後得到

P(K)=35/(12\pi^2)

，即構成凸多邊形的機率為

1-P(K)=1-35/12\pi^2

。

以下是不同形狀平面下的

1-P(K)

，資料來源同參考文獻，我就直接截圖了wwww

有界二維平面內任意四點形成凸四邊形的機率？

有界二維平面內任意四點形成凸四邊形的機率？

從這裡就不難看出，這個問題僅限於可以用分析學方法求出面積的凸集

K

，因為

M(K)

這步積分是不可避免的。當然Matlab（數值方法）能解決任意可以畫出來的形狀面積，代進去就好了www

到這兒主要的解釋就算敘述完了。現在已經可以證明這個任意形狀的機率範圍可以由這些可積區域的情況給出，用公式表述就是

P(\Delta)=\frac{2}{3}\leq P(K) \leq P(\text{Disk})=1-\frac{35}{12\pi^2}

。

這個證明。。。。2333我找到所有有關它的文獻都是直接引用結論標註參考文獻，Google了一下原文居然是德語而且發表於1917年，完全找不到任何語言（更別說英文）的版本，就只好放個文章標題了（哭死QAQ）。

Blaschke， W。 “Über affine Geometrie XI： Lösung des ‘Vierpunktproblems’ von Sylvester aus der Theorie der geometrischen Wahrscheinlichkeiten。”

Ber。 Verh。 Sachs。 Akad。 Wiss。 Leipzig Math。-Phys。 Kl。

69

， 436-453， 1917。

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參考文獻： The Historical Development of J。 J。 Sylvester‘s Four Point Problem on JSTOR

The Historical Development of J。 J。 Sylvester’s Four Point Problem，

Richard E。 Pfiefer

Mathematics Magazine

Vol。 62， No。 5 （Dec。， 1989）， pp。 309-317

以及 Sylvester‘s Four-Point Problem —— from Wolfram MathWorld

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總之，Sylvester’s four-point problem 現在還是

無解狀態

，而且並沒有考慮四個點順此連線的情況（大霧）。 它還被收進一本叫 Unsolved Geometry Problem的書（Google books上也有）。

我只拋個磚而且幾乎沒關注什麼人＝ ＝，所以 @vczh如果有認識幾何學的大神沒準能再解釋下，可能題主也沒想到問題如此複雜吧。P。S。 我也想知道

P(K)

範圍到底是如何確定的，找了我一晚上www

有界二維平面內任意四點形成凸四邊形的機率？知乎使用者2016-06-02 01:08:41

原諒小的我真的對這種幾何無能為力啊！！！！！