繼我們在第一篇文章中介紹的奇技淫巧（或者說經驗方法）之後，我們將介紹一種在科學領域廣泛應用的方法，即量綱分析法，並使用它對核爆炸當量進行精確估計。這是一篇筆者對稍微嚴肅的內容的嘗試，如果覺得枯燥……C‘est la vie！筆者深表遺憾。

警告：本文含有大量枯燥的公式，請謹慎閱讀……

閒話少說，我們開始吧。

白金漢π定理與量綱分析法：從空氣動力學說起

我最喜歡安德森的空氣動力學教材，原因就在於它不是直接丟擲一大堆公式讓你開始背（例如某些國內教材），而是娓娓道來，把一切事情都講清楚。事實上，也正是在空氣動力學這門課程中，我第一次接觸到了量綱分析法。但那時，我還完全無法想到，它可以用來估算爆炸當量……

量綱分析法在流體力學中有廣泛的應用。例如，著名的K41理論及-3/5冪率（詳見這篇文章）就是由量綱分析推導的。

而在此，我們僅透過推導空氣動力學中的幾個基本無量綱量（也就是安德森第一章教我的那樣）向大家展示量綱分析法的應用。

首先我們需要確定，對於空氣動力學研究的物件——物體上的氣動力R，它受哪些因素的影響。我們很自然地想到，它肯定受自由來流速度V影響；

同理，

自由來流密度ρ

顯然也是一個因素；

空氣是有黏性的——雖然很小，但仍然是黏性——因此我們需要引入

黏性係數μ

；

物體尺寸顯然也會影響氣動力——我們用

物體弦長c

來表徵物體尺度。

最終，為了衡量氣體的可壓縮性（可壓縮性越小聲速越大——參見空氣、水和鐵），我們引入

自由來流聲速a

來表徵氣體的可壓縮性。

通俗的來說，氣動力R與上面幾個因素有關係——因此，從數學的角度講，我們可以

將氣動力R表示成上述變數的函式

。

R=f(V,ρ,μ,c,a)

在繼續接下來的討論之前，我們需要明確：量綱是什麼？例如，速度V的量綱是什麼？有人可能會說……m/s？不，先生。m/s，km/s，km/h……這些都只是物理量的

單位。而量綱衡量的是這個物理量與基本物理量之間的關係，或者說，怎麼操作才能得到這個物理量；因此，速度的量綱不是米每秒或者其他什麼，而是長度除以時間，或者寫作

：

[V]=lt^{-1}

同理我們可得：

[\rho]=ml^{-3}

[c]=l

[\mu]=ml^{-1}t^{-1}

[a]=lt^{-1}

[R]=mlt^{-2}

現在，獲取了這些物理量的量綱，我們可以使用白金漢

\pi

定理進行分析了。

白金漢定理的主要內容是：一個

含有N個未知量

，這些未知量的

量綱含有K個基本物理量，

形如

f_{1}(P_{1},P_{2},...,P_{N})=0

的函式，可以表示為N-K個

無量綱數為自變數

的函式

f_{2}(\Pi_{1},\Pi{_2},...,\Pi_{N-K})=0

。

我們如何確定這些無量綱數呢？首先，我們需要選取K個變數（稱為重複變數），且這些變數的量綱

包含了所有的基本物理量

；每個無量綱數即為由這些

重複變數加上另外一個非重複變數構成的函式

。

即

\Pi_{1}=f_{3}(P_{1},P_{2},...P_{K},P_{K+1})

\Pi_{2}=f_{4}(P_{1},P_{2},...P_{K},P_{K+2})

……

\Pi_{N-K}=f_{5}(P_{1},P_{2},...P_{K},P_{N})

讓我們實踐一下。對於空氣動力學，之前的式子可以寫作：

g(R,\rho,V,c,\mu,a)=0

觀察易知，N=6（6個變數），K=3（m，l，t），因此我們可以將上式表示為3個無量綱陣列成的函式：

f_{2}(\Pi_{1},\Pi_{2},\Pi_{3})=0

我們現在需要選取6-3=3個重複變數，而且它們的量綱

需要同時包括m,l和t

；沒有特殊的理由，我們選擇ρ，V和c作為我們的重複變數。

（請自行回顧這些物理量的量綱）

因此，我們可以將三個無量綱量表示為：

\Pi_{1}=f_{3}(\rho,V,c,R)

\Pi_{2}=f_{4}(\rho,V,c,\mu)

\Pi_{3}=f_{5}(\rho,V,c,a)

讓我們專注於Π1。我們不難想到，因為它是上述變數的函式，它的式子必然是由以上變數的次冪構成；或者說，我們可以將其寫作如下形式：

\Pi_{1}=\rho^{d}V^{b}c^{e}R

（注意：R不需要解：我們已經知道它是一次方的。）

而我們的突破口在於，Π1是一個無量綱量——也就是說，

所有這些變數的量綱應該完全抵消！

我們寫出Π1的量綱：

[\Pi_{1}]=(ml^{-3})^{d}(lt^{-1})^{b}l^{e}(mlt^{-2})

為了保證這個式子為無量綱的，

式中所有的量綱應該都互相抵消

：這使我們可以透過解幾個簡單的一次方程得到它們。

對於m：令d+1=0

對於l：令-3d+b+e+1=0

對於t：-b-2=0

解得d=-1，b=-2，e=-2。

將它代回原式中，我們可得：

\Pi_{1}=R\rho^{-1}V^{-2}c^{-2}

讓我們觀察一下這個式子——c作為參考長度，那麼

c^{2}

顯然就是機翼的參考面積S；

更進一步，ρV^2讓我們聯想起動壓——而一個無量綱數乘以一個數還是一個無量綱數，因此我們對其除以1/2，將其化成如下形式：

\Pi_{1}=\frac{R}{1/2\rho V^{2}S}=\frac{R}{qS}

任何學過空氣動力學的人都會一眼看出，

這就是空氣動力學中力系數

C_{R}

的表示式

：當R是升力時，它就是升力係數

C_{L}

；當R是阻力時，它就是阻力系數

C_{D}

……透過剛才的過程，我們推出了空氣動力學中極其重要的一個無量綱量。

透過對另外兩個無量綱量重複以上過程（此處不再贅述），我們可以得到空氣動力學中至關重要的另外兩個無量綱量：

自由來流雷諾數

\Pi_{2}=\frac{\rho Vc}{\mu}

，符號為Re；

自由來流馬赫數

\Pi_{3}=\frac{V}{a}

，符號為M或Ma。

根據白金漢

\pi

定理，上面三個無量綱量可以寫成以下形式：

f(C_{R},Re,Ma)=0

換一種寫法，就是：

C_{R}=g(Re,Ma)

這個公式反映了一個極其重要的物理規律，那就是

氣動力系數僅為雷諾數和馬赫數的唯一函式。

因此，這兩個量被稱為

相似引數

；也就是說，

當兩個物體外形幾何相似時，只需要確保流動雷諾數和馬赫數相等，那麼它們的氣動力系數必然相等

——這就是所有風洞試驗的理論基礎。

量綱分析與核爆炸：透過照片精確估算核爆炸當量

到這裡，我們介紹完了量綱分析法這種應用廣泛的物理方法。下面。我將為大家說明，在第一次核試驗中，量綱分析法是如何被用於估算核爆炸當量的……

蘇47的完美核爆教室(3)——白金漢π定理、量綱分析法與核爆炸：對武器當量的定量估計

Trinity試驗的高速攝影影象。

1945年7月16日清晨，當一枚小小的太陽在新墨西哥州雨後的沙漠上被創生出來，一部幾百萬減光度濾光鏡後的高速相機拍下了它的新生。其中，火球尺寸和爆炸後時間已在圖中標出……那麼，我們該如何透過這張照片確定它的當量呢？

像剛剛一樣，我們先試圖確定哪些因素影響

火球半徑R

。

首先，火球半徑顯然受

武器釋放的能量E

影響；

其次，火球半徑和

爆炸後時間T

也有關係；

再然後，由於火球需要推開空氣膨脹，

空氣密度ρ

也是一個影響因素。

讓我們寫出以上變數的量綱：

[R]=l

[E]=ml^{2}t^{-2}

[T]=t

[\rho]=ml^{-3}

我們令

[R]=[E]^x[\rho]^y[t]^z

，即

l=m^{(x+y)}l^{(2x-3y)}t^{(-2x+z)}

；

即x+y=0，2x-3y=1，-2x+z=0；

解得x=1/5，y=-1/5，z=-2/5。

即

R=E^{1/5}\rho^{-1/5}t^{-2/5}*constant

對於常數，我們假定其等於1；

變形可得，武器釋放能量

E=\frac{R^5\rho}{t^2}

。

觀察圖片可得，當t=0。006s時，火球半徑約等於80m；對於空氣密度，我們取

1.2kg/m^3

；

代入可得，武器釋放能量約為

E=\frac{80^5*1.2}{0.006^2}\approx10^{14}J

。

TNT當量的換算公式為，1tTNT當量=4。2*10^9J；因此，武器當量W即為

W=\frac{10^{14}}{4.2*10^9}\approx23.8kt

。

由此，我們即估算出了此次核爆炸的當量，且誤差不超過10%。

不過，說實話，在實際的核爆炸影片中，我們很難找到精確的時間與空間標尺，來幫助我們正確估算核爆炸當量；因此，筆者寫作本文的目的，更多的是為了和大家分享這一簡單巧妙的物理方法，並讓大家對空氣動力學這門有趣的學科管窺一斑罷了。你們的認真閱讀，總會讓我倍感欣慰；你們的支援是我不懈創作的動力。

【完】