母函式的匯出
Young Quantum 發表于 娛樂2018-07-22
拉普拉斯方程：
在球座標系下的形式為：
進行分離變數：令
分解成兩個方程：
其中
為常數。
第一個方程
為尤拉型常微分方程。
其解為：
。
對第二個方程進一步分離變數：令
分解成兩個常微分方程：
![sin\theta\frac{d}{d\theta}\left( sin\theta \frac{d\Theta}{d\theta} \right)+\left[ l\left( l+1 \right)sin^2\theta -\lambda\right ]\Theta=0](https://img.beesask.com/upload/website_attach/CWnc_aN=kbyfjf0S_yIBh_E6CiYwOf8=PlXchABSLipoQpgezMRV09GeOyCiGtoa3Z0HzANx8zlF-t1VSo4bgcEf5_tFHNKHi44q-s8kNPGZjLodHZw+hHJqLpGi0b8ZA3Uo0=YyOOZ5-t1ZyZrj=QtxNMtIs=1ni44Lg9oi3ipUgCK+So4XU+Ef5_SAHfeZi4sI-suZi7Gpia8yiZrj=6onjnCV1b8WPprH19T-i7lLcsSxGqbfhHixzYEebNYTNGrdls5x8odcha8hPnUx-rCrPy9wGaKHi4Mp_YUDCyok-t8VSoMWOi4qzy8kPdJtH.jpeg)
注意第一個方程隱藏的‘自然的週期條件’
，透過此條件以及此微分方程構成本徵值問題，本徵值是：
本徵函式是：
對第二個方程進行變換：
，即變成
階
連帶勒讓德方程
，對
的特例，該方程變成
階
勒讓德方程.
（此特例在幾何上為一個軸對稱模型，極角
無關。）
對
這個特例，其
階勒讓德方程的兩個線性獨立解之一退化得到的多項式，將他們分別乘以適當的常數，得到的本徵函式：
階勒讓德多項式，記作
。
關於
階勒讓德多項式的性質：
為奇數，
為奇函式。
為偶數，
為偶函式。
微分形式：
（羅德里格斯公式）
積分形式：
，
為
平面上圍繞
點的任一閉合迴路。這叫做
施列夫利積分。
由
![P_{l}\left( x \right)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\left[ cos\theta+isin\theta cos\psi \right]^ld\psi](https://img.beesask.com/upload/website_attach/zeASi_bEhsZflTh6RfvZ5SC82-f8de1NiO0SgHZUIp=oDYfsz5BnqQNGeSAL2l+qyOjSTrSTFp4kB8Crjf9X5SDGhqg94.jpeg%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cpi%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Cpi%7D%5Cleft%5B+cos%5Ctheta%2Bisin%5Ctheta+cos%5Cpsi+%5Cright%5D%5Eld%5Cpsi)
可得一些特別的值：
正交性：
模值：
![N_{l}^{2}=\int_{-1}^{1}\left[ P_{l}\left( x \right) \right]^2dx=\frac{2}{2l+1}](https://img.beesask.com/upload/website_attach/J3ovuu4u3QFtujIws2SD0v8SfQ1AOtHM7aYv4d2_Q=ICvkuf1_Xi659xi_xCaYLW_4tQDW7UrWWOloaY4blzmR8jxKvZsWvYrxmyDW7V4V7tpZWRpvZUHMnxi8pGqyyW_4=ADW7UrWqN4zaivzXbbixQrfYv6=DCIuJvDWqi8Q7vojoN3vSzsXmVqqcPP4qTrxcPDWd-IL4S1dWTp-oUasnxi_pj1hL+kTXNevkSe.jpeg)
廣義傅立葉級數：
，
根據這些方程的解，對
這種情況的模型，其拉普拉斯方程的解為：
根據封面圖形，設在單位球北極置
單位的正電荷，則球內任一點
的靜電勢為：
靜點勢遵從拉普拉斯方程，且以球座標系的極軸為對稱性，因此該情況下拉普拉斯方程一般解的形式為：
分兩種情況：
對在單位球內的靜電勢，根據在球心電勢應是有限的，故必有
，即有：
左右兩邊取
，即有：
左式在
的鄰域上泰勒展開：
從而有：
對在單位球外的靜電勢，在無窮遠處的電勢是有限的，故必有
，即有：
同理取
，既有：
左式在
的鄰域上泰勒展開：
從而有：
。