複變函式論：二、解析函式

本文並非對微積分學進行專業的介紹，而是學習計算機圖形學的數學筆記，主要參考高等教育出版社《數學物理方法》第四版，在內容上有所取捨。

解析函式是複變函式論研究的中心，解析函式一類滿足特殊條件的可微函式，這個條件叫做柯西-黎曼條件。解析函式有一些非常重要的性質，在理論和實踐中有非常重要的應用。

1。複變函式的可微與可導

複變函式微分定義

：設函式

定義在點

的某領域

內。當給

一個增量

$\Delta z,\ z_0+\Delta z\in U(z_0)$

時，相應地得到函式的增量為：

$\Delta w = f(z_0 + \Delta z) - f(z_0) = \Delta u + i\Delta v$

如果存在常數

，使得

$\Delta w$

能表示成：

$\Delta w = A\Delta z + \circ(\Delta z)$

則稱函式

在點

可微。並稱上式中

$A\Delta z$

為

在點

的

微分

，記作：

$dz|_{z=z_0} = A\Delta z$

由定義可見，函式的微分與增量僅相差一個關於

$\Delta z$

的高階無窮小量，由於

是

$\Delta z$

的線性函式，所以當

$A\neq 0$

時，也說微分

是增量

$\Delta z$

的

線性主部

。

複變函式導數定義

：設

在區域

內有定義，

$z_0\in D$

，記

$\Delta z = z-z_0 = \Delta x + i\Delta y,\\ \Delta w = f(z)-f(z_0) = f(z_0+\Delta z)-f(z_0) = \Delta u + i\Delta v$

如果

$\lim_{\Delta z\to 0}\frac{\Delta w}{\Delta z} = \lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} = A$

存在，則稱

在

可導，

稱為

在

可導，

稱為

在

的

導數

，記為

$A=f^{\prime}(z_0)$

。

複變函式與一元函式一樣，

可導和可微是等價的

，

同樣複變函式在 #FormatImgID_36# 可導是 #FormatImgID_37# 在 #FormatImgID_38# 連續的充分條件

。但複變函式與一元函式不同的是，一元函式

$\Delta x$

只能沿著實軸逼近零，而複變函式

$\Delta z$

可以沿著複平面上任一曲線逼近零，也與二元函式是一樣的。

複變函式自變數的增量

$\Delta z$

可沿任意方向逼近於 0，和二元函式的偏導數的定義類似，我們可以考察沿平行於實軸和虛軸方向逼近於 0。

平行於實軸方向逼近於 0：這時

$\Delta y \equiv 0$

，而

$\Delta z = \Delta x \to 0$

於是：

$\begin{array}{l} &\quad \lim_{\Delta x\to0}\frac{u(x+\Delta x,y)+iv(x+\Delta x,y)-u(x,y)-iv(x,y)}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to0}\{\frac{u(x+\Delta x,y)-u(x,y)}{\Delta x}+i\frac{v(x+\Delta x,y)-v(x,y)}{\Delta x}\}\\ &=\frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} \end{array}$

平行於虛軸方向逼近於 0：這時

$\Delta x \equiv 0$

，而

$\Delta z = i\Delta y \to 0$

於是：

$\begin{array}{l} &\quad \lim_{\Delta x\to0}\frac{u(x,y+\Delta y)+iv(x,y+\Delta y)-u(x,y)-iv(x,y)}{\Delta y}\\ &=\lim_{\Delta x\to0}\{\frac{v(x,y+\Delta y)-v(x,y)}{\Delta y}-i\frac{u(x,y+\Delta y)-u(x,y)}{\Delta y}\}\\ &=\frac{\partial v}{\partial y} - i\frac{\partial u}{\partial y} \end{array}$

那麼根據二元函式可微的必要條件，上面兩個極限應該存在，對於複變函式再加一條，這兩個極限相等，那麼有：

$\frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} - i\frac{\partial u}{\partial y}$

這個方程就是是

柯西-黎曼方程

，或稱為

柯西-黎曼條件

。

柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）方程

：如果函式

在點

可導，那麼上面兩個極限存在且相等，即：

$\frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} - i\frac{\partial u}{\partial y}$

這個等式兩邊的實部和虛部必須分別相等，即

$\left\{\begin{array}{l} \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y} \end{array}\right.$

這兩個方程稱為

柯西-黎曼方程

，或

柯西-黎曼條件

，是

複變函式可微的必要條件

。柯西-黎曼方程只保證

$\Delta z$

沿實軸以及虛軸逼近零時，

$\Delta f/\Delta z$

逼近同一極限，並不能保證

$\Delta z$

沿任意曲線逼近零時，

$\Delta f/\Delta z$

總是逼近同一極限。因此為了得到可微的充要條件還需加一些限制。

定理（在一點可微的充要條件）

：設

定義在區域

內，則

在點

$z=x+iy\in D$

可微的充要條件是：

$u(x,y),\ v(x,y)$

在點

可微

$u(x,y),\ v(x,y)$

在點

滿足柯西-黎曼方程

證明：

$u(x,y),\ v(x,y)$

在點

可微，根據二元函式可微的必要條件，那麼有：

$\Delta u = \frac{\partial u}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial u}{\partial y}\Delta y + o(|\Delta z|)\\ \Delta v = \frac{\partial v}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial v}{\partial y}\Delta y + o(|\Delta z|)$

根據複變函式可微的定義：

$\begin{array}{l} \lim_{\Delta z\to 0}\frac{\Delta w}{\Delta z} &= \lim_{\Delta z\to 0}\frac{\Delta u+i\Delta v}{\Delta z}\\ &=\lim_{\Delta z\to0}\frac{\frac{\partial u}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial u}{\partial y}\Delta y + o(|\Delta z|)+i(\frac{\partial v}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial v}{\partial y}\Delta y + o(|\Delta z|))}{\Delta z}\\ &=\lim_{\Delta x\to0\\ \Delta y\to0}\frac{\frac{\partial u}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial u}{\partial y}\Delta y+i(\frac{\partial v}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial v}{\partial y}\Delta y)}{\Delta x+i\Delta y} + \frac{o(|\Delta z|) + io(|\Delta z|)}{\Delta z} \end{array}$

根據柯西-黎曼方程

$\begin{array}{l} &\quad \lim_{\Delta x\to0\\ \Delta y\to0}\frac{\frac{\partial u}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial u}{\partial y}\Delta y+i(\frac{\partial v}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial v}{\partial y}\Delta y)}{\Delta x+i\Delta y}\\ &= \lim_{\Delta x\to0\\ \Delta y\to0}\frac{\frac{\partial u}{\partial x}(\Delta x+i\Delta y)+i\frac{\partial v}{\partial x}(\Delta x+i\Delta y)}{\Delta x+i\Delta y}\\ &=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}\\ &=\frac{\partial v}{\partial y} - i\frac{\partial u}{\partial y} \end{array}$

可以看到，複變函式可微定理的條件中，二元函式

$u(x,y),\ v(x,y)$

可微蘊含著偏導數

$\frac{\partial u}{\partial x},\ \frac{\partial u}{\partial y},\ \frac{\partial v}{\partial x},\ \frac{\partial v}{\partial y}$

在點

$z=x+iy\in D$

存在且連續。如果這四個偏導數滿足柯西-黎曼方程，那麼可以推出複變函式在該點可導。複變函式可導的要求比一元函式可到的要求嚴格得多，其具體體現就是函式的實部和虛部透過柯西-黎曼方程相聯絡。

極座標表示的柯西-黎曼方程

：在極座標系中，

$\Delta z$

有兩個特殊的方向逼近 0，一是沿著徑向逼近 0（

$\Delta z = e^{i\varphi}\Delta \rho \to 0$

），二是沿著角向逼近 0（

$\Delta z = \rho\Delta (e^{i\varphi}) = i\rho e^{i\varphi}\Delta \varphi\to 0$

）。那麼極座標系下的柯西-黎曼方程：

$\left\{\begin{array}{l} \frac{\partial u}{\partial \rho}=\frac{1}{\rho} \frac{\partial v}{\partial \varphi} \\ \frac{1}{\rho} \frac{\partial u}{\partial \varphi}=-\frac{\partial v}{\partial \rho} \end{array}\right.$

從直角座標系下的柯西-黎曼方程透過變換公式，也能變換到極座標系下形式。

2 解析函式

下面考察解析函式的定義與性質。

2。1 解析函式的定義

函式在某一點解析的定義

：設

在點

的某領域

$U(z_0;\delta)$

，使得

在區域

$U(z_0;\delta)$

內處處可導，則稱

在點

解析

。

解析函式的定義

：設

定義在區域

內，如果

在區域

內的每一點都可導，則稱

在區域

內解析，此時也稱

為區域

內的

解析函式

，或

全純函式

。

可見函式在某點解析，那麼必在該點可導，但反之不成立。由複變函式可微條件和解析函式的定義，我們可得函式在區域

內解析的充要條件。

定理（函式解析的充要條件 1）

：設

定義在區域

內，則

在

內解析的充要條件是：

$u(x,y),\ v(x,y)$

在

內可微

$u(x,y),\ v(x,y)$

在

內每一點滿足柯西-黎曼方程

定理（函式解析的充要條件 2）

：設

定義在區域

內，則

在

內解析的充要條件是：

$u(x,y),\ v(x,y)$

在

內具有一階連續的偏導數

$u(x,y),\ v(x,y)$

在

內每一點滿足柯西-黎曼方程

2。2 解析函式的性質

解析函式的四則運算

：如果

都在區域

內解析，則

線性解析法則：

$[k(f(z)\pm g(z))]^{\prime} = kf^{\prime}(x)\pm kg^{\prime}(x)$

乘法解析法則：

$(f(z)\cdot g(z))^{\prime} = f^{\prime}(z)g(z)+f(z)g^{\prime}(z)$

除法解析法則：

$(\frac{f(z)}{g(z)})^{\prime}=\frac{f^{\prime}(z)g(z)-f(z)g^{\prime}(z)}{g^2(z)},\ (g(z)\neq 0)$

複合函式解析法則：

$F[f(z)]^{\prime}=F^{\prime}(\zeta)\cdot f^{\prime}(z) = F^{\prime}(f(z))\cdot f^{\prime}(z)$

反函式解析法則：設

在區域

內單葉解析，

$(f^{-1}(w))^{\prime} =\frac{1}{f^{\prime}(z)}=\frac{1}{f^{\prime}[f^{-1}(w)]}$

單葉函式

：在區域

上解析的單值複變函式

，若對

中任意不同的兩點

，有

$f(z_1)\neq f(z_2)$

，則說

為

上的單葉函式。

解析函式實部與虛部的正交性

：若函式

在區域

上解析，則，

$u(x,y) = C_1,\ v(x,y)=C_2$

（

為常數）是

上的兩組正交曲線。

將柯西-黎曼方程的兩邊分別相乘，得：

$\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial y}$

也即：

$\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial x} +\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial y} = 0\\ (\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y})\cdot(\frac{\partial v}{\partial x},\frac{\partial v}{\partial y}) = 0\\ \nabla u\cdot \nabla v = 0$

曲線

$u(x,y) = C_1,\ v(x,y)=C_2$

也稱為二元函式

$u,\ v$

的等高線。根據梯度的幾何意義，

$\nabla u, \nabla v$

分別是曲線

$u,\ v$

的法向量。法向量內積為零，那麼曲線族

也相互正交。

下面的定理非常重要，且需要運用複變函式積分的相關知識，所以在下一章證明。

解析函式的無窮可微性

：若

在區域

內解析，則

在區域

內有各階導數

$f^{(k)}(z),\ (k=1,2,\cdots)$

，從而

$f^{(k)}(z)\ (k=1,2,\cdots)$

在區域

內也解析。

解析函式實部與虛部的調和性

：若複變函式

在區域

上解析，則

$u,\ v$

均為

上的調和函式。

二元函式在區域內有一階連續偏導意味著，函式在區域內二階偏導存在。二階偏導數

$\frac{\partial^2u}{\partial x^2},\frac{\partial^2u}{\partial x\partial y},\frac{\partial^2u}{\partial y^2},\frac{\partial^2v}{\partial x^2},\frac{\partial^2v}{\partial x\partial y},\frac{\partial^2v}{\partial y^2}$