康託集相關問題整理

本文旨在整理若干關於康託集的結果，大多數結論都不會加以證明。之後會隨緣補充。如果有疑問或文章有錯誤歡迎私信和評論。

關於康託集本身

康託集的拓撲性質

康託函式

康託集的變體和測度論

關於康託集本身

康託集（Cantor set），又稱康託三分集，最初由史密斯（Henry John Stephen Smith）在1874年發現，之後幾年也有其他數學家陸續發現，最終由康託（Georg Cantor）在1883年正式提出。基於康託集可以找到許多有意思的構造。康託集的定義基本是廣為人知的，這裡不再贅述（見

［1］

，本文有大量內容整理自該網站），不過我們指出一個有意思的等價定義，這種等價的刻畫使得它更加直觀具體：

定義 1.1:

考慮

上小數的三進製表示，定義康託集

$\mathcal{C}$

為

$\quad\{\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{a_n}{3^n}:\forall{n\in\mathbb{N^+}},a_n=0,2}\}$

即它是三進製表示中不含1的數的集合。

註記:

三進製表示未必是唯一的，如

$0.\overset{\cdot}2=1$

，但問題不大。附帶練習：

$\frac{1}{4}$

和

$\frac{1}{13}$

是否在

$\mathcal{C}$

中。

推論1.2:

$\mathcal{C}$

的基數為連續統基數

。

註記:

這是因為二元數列的全體的基數為

。

推論 1.3

［2］

若記

$A+B=\{x+y:x\in{A},y\in{B}\}$

，則

$\quad\mathcal{C}+\mathcal{C}=[0,2]$

康託集的拓撲性質

我們接下來主要考慮的拓撲空間還是

$\mathbb{R}$

（也可能涉及

$\mathbb{R}^n$

）上的通常拓撲，當討論

$\mathcal{C}$

的部分性質時是將它作為子空間（從而自然是一個度量空間）考慮的，請加以甄別。對於子集

：

（或

）表示導集

（或

）表示閉包

（或

$A^\circ$

）表示內部

定理 2.1:

$\mathcal{C}$

是無處稠密（nowhere dense）的完全集（perfect set，國內的文獻有譯為完美集、完備集的，容易混淆），即

$\mathcal{C}$

$\mathcal{C^{-\circ}}=\varnothing$

註記:

這個結果相當經典，幾乎每一本實變教材上都有。考慮到

$\mathbb{R}$

中非空完備集基數為

［3］

， 1。5也能作為它的推論。

推論 2.2:

$\mathcal{C}$

是有界閉（緊）集。

推論 2.3:

$\mathcal{C}$

（作為子空間）是完全不連通（即沒有非平凡連通子集）的緊Hausdorff空間。

定理 2.4:

考慮離散空間

$\{0,1\}$

，則

$\mathcal{C}$

同胚於可數無窮個

$\{0,1\}$

的積空間。

註記:

結合Tychonoff定理， 1。5也能作為它的推論。當然

$\mathcal{C}$

不是離散空間（

$\{0\}$

非開集），因此可知“離散空間的積空間不一定是離散空間”。

定理 2.5(Brouwer):

若度量空間

非空、緊緻（compact）、完全（perfect）、完全不連通，則

與

$\mathcal{C}$

同胚。

註記:

這樣的度量空間也叫做康託空間。至多可數個康託空間的積空間是康託空間，結合將要談到的康託函式可以用之構造空間填充曲線。一個Hausdorff空間是可度量化的緊緻空間當且僅當它是康託空間的連續映像。更多內容可移步

［4］

。

康託函式

康託函式通常是如下定義：

定義 3.1:

對映

$\varphi:\mathcal{C}\rightarrow[0,1]$

將康託集中的元素

$\quad2\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{a_n}{3^n}}$

對映為

$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{a_n}{2^n}}$

（

）。按

$\quad\varphi(x)=sup\{\varphi(y):y\in\mathcal{C},y\leq{x}\}$

將

$\varphi$

延拓到

上。這樣定義的函式

$\varphi(x)$

稱為康託函式。

圖3。1：康託函式的大致影象

定理 3.2:

康託函式

$\varphi(x)$

具有如下性質：

$\varphi$

是

到

的滿射

$\varphi$

是單調遞增函式，但不一定嚴格遞增；事實上，在構造康託集時挖去的任意某個區間上

$\varphi$

取一個常值

$\varphi$

不僅連續，而且一致連續；事實上，它是指數為

的赫爾德連續函式

$\varphi$

在

上幾乎處處可導（但不是處處可導），且導數幾乎處處為0，即它是一個奇異函式

康託函式的用處包括但不限於：構造非Borel的Lebesgue可測集，構造“可測函式和連續函式的複合函式未必是可測函式”的例項（但連續函式和可測函式複合一定可測），等等。囿於篇幅不再展開討論。

康託集的變體，測度論

康託集有幾個變體，它們在用於構造一些特殊物件的時候有奇效。

定義 4.1:

康託集的有限笛卡爾積稱為Cantor dust（不知道怎麼翻譯），記作

$\mathcal{C}^n$

。

圖4。1：三維情況下的Cantor dust，也叫康託立方（cube）

定理 4.2:

$\mathcal{C}$

是Lebesgue零測集。

註記:

基於這個結論可以確定Lebesgue可測集類的基數。

推論 4.3:

$\mathcal{C}^n$

是

$\mathbb{R}^n$

中的不可數Lebesgue零測集。

定義 4.4:

給定實數

$a\in{(0,1]}$

，第一步在區間

中去掉正中間長度為

$\small\frac{a}{3}$

的開區間，即

$\small(\frac{3-a}{6},\frac{3+a}{6})$

；第二步在剩下的兩個閉區間中分別去掉正中間長度為

$\small\frac{a}{3^2}$

的開區間；以此類推，第n步在剩下的

$2^{n-1}$

個閉區間中分別去掉正中間長度為

$\small{\frac{a}{3^n}}$

的開區間。無限步（

$n\rightarrow+\infty$

）後得到集合

$\mathcal{C}_a$

，稱為引數為

的康託集。

註記:

這種一般的康託集也叫做Smith–Volterra–Cantor集，當

時就是康託三分集。

定理 4.5:

$\mathcal{C}_a$

是無處稠密的完全集。

推論 4.6:

$\mathcal{C}_a^n$

是康託空間。

定理 4.7:

當

$a\ne1$

時

$\mathcal{C}_a$

不是Lebesgue零測集，事實上

$m(\mathcal{C}_a)=1-a$

。

註記:

這時也叫做胖（fat）康託集或類（like）康託集。基於這個定理可以給出

$\mathbb{R}$

中測度大於0的無處稠密集的例子。

$\mathcal{C}_a^n$

是

$\mathbb{R}^n$

中測度大於0的無處稠密集的例子。

如果考慮更細化的Hausdorff測度會得到一些更有意思的結果。比如康託三分集的Hausdorff維數是

，它的

Hausdorff測度是1。（

$\mathcal{C}$

是一個完美分形！）

定義 4.8:

在定義4。4中把第n步的操作中去掉開區間的長度從

$\small{\frac{a}{3^n}}$

改為

$(1-2t)t^{n-1}$

，其中

$t=2^{-\frac{1}{d}}$

（

$d\in(0,1)$

），這樣得到集合

$\mathcal{C_d^*}$

。

註記:

$\small{t=\frac{1}{3}}$

時

$\mathcal{C_d^*}$

正是康託三分集。這類集合也能作笛卡爾積。

定理 4.9:

$\mathcal{C_d^*}$

的Hausdorff維數為

。

推論 4.10:

對任意正實數

$d\in(0,1)$

，

$\mathbb{R}$

中都存在Hausdorff維數為

的點集。

推論 4.11:

在

$\mathbb{R}$

中存在Hausdorff維數為1的Lebesgue零測集。

註記:

取

$X=\bigcup_{n=1}^{\infty}\mathcal{C_{\frac{n}{n+1}}^*}$

即可。

參考

^https：//encyclopedia。thefreedictionary。com/Cantor+set

^https：//math。stackexchange。com/questions/309080/cantor-set-cantor-set-0-2？r=SearchResults

一菌一：關於完全集（完美集）的一些性質

https：//zhuanlan。zhihu。com/p/112146385

^https：//encyclopedia。thefreedictionary。com/Cantor+space

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