一、任意自然數的平方根表示為三角函式連加之和

在我的上一篇文章中：

對於大於1的奇數，由文中的第一、二、三部分可歸納出這樣的結論：

1）

所有

n=4k+3

形式的奇數的平方根，均可以表示為不多於

\frac{n-1}{2}

個

2\sin ( \frac{j \pi}{n} )

形式的正弦函式之和，例如：

\sqrt{15}=-2 \sin \left(\frac{\pi }{15}\right)+2 \sin \left(\frac{2 \pi }{15}\right)+0 \sin \left(\frac{3 \pi }{15}\right)+2 \sin \left(\frac{4 \pi }{15}\right)+0 \sin \left(\frac{5 \pi }{15}\right)+0 \sin \left(\frac{6 \pi }{15}\right)\\+2 \sin \left(\frac{7 \pi }{15}\right)

\sqrt{19}=2 \sin \left(\frac{\pi }{19}\right)+2 \sin \left(\frac{2 \pi }{19}\right)-2 \sin \left(\frac{3 \pi }{19}\right)-2 \sin \left(\frac{4 \pi }{19}\right)+2 \sin \left(\frac{5 \pi }{19}\right)-2 \sin \left(\frac{6 \pi }{19}\right)\\+2 \sin \left(\frac{7 \pi }{19}\right)+2 \sin \left(\frac{8 \pi }{19}\right)+2 \sin \left(\frac{9 \pi }{19}\right)

2）

所有

n=4k+1

形式的奇數的平方根，均可以表示為不多於

\frac{n-1}{2}

個

2 \cos (\frac{j \pi}{n})\

形式的餘弦函式之和，例如：

\sqrt{17}=-2 \cos \left(\frac{\pi }{17}\right)+2 \cos \left(\frac{2 \pi }{17}\right)+2 \cos \left(\frac{3 \pi }{17}\right)+2 \cos \left(\frac{4 \pi }{17}\right)+2 \cos \left(\frac{5 \pi }{17}\right)-2 \cos \left(\frac{6 \pi }{17}\right)\\+2 \cos \left(\frac{7 \pi }{17}\right)+2 \cos \left(\frac{8 \pi }{17}\right)

\sqrt{21}=2 \cos \left(\frac{\pi }{21}\right)+2 \cos \left(\frac{2 \pi }{21}\right)+0 \cos \left(\frac{3 \pi }{21}\right)-2 \cos \left(\frac{4 \pi }{21}\right)+2 \cos \left(\frac{5 \pi }{21}\right)+0 \cos \left(\frac{6 \pi }{21}\right)\\+0 \cos \left(\frac{7 \pi }{21}\right)+2 \cos \left(\frac{8 \pi }{21}\right)+0 \cos \left(\frac{9 \pi }{21}\right)+2 \cos \left(\frac{10 \pi }{21}\right)

對於偶數

n

，我在上文的第四部分也給出了相應的結論。

我得到以上結果，主要是受 math。stackexchange 以下一討論貼的啟發：

該討論貼關注的是

a=k^2+k+2

形式的整數

a

的三重連根式，即：

\sqrt{ a+ \sqrt{ a + \sqrt{ a-x}}}=x \\

之所以重點研究

a=k^2+k+2

型的整數，是因為：此時上式由關於

x

的一元八次方程經因式分解後，可簡化為關於

x

的一元三次方程。該帖子於6年多前由Tito Piezas III 發起，經過接近2年時間的討論，有以下結果（我對三角函式的形式略作了調整）：

k=0

時，

a=2

，連根式

\sqrt{ 2+ \sqrt{ 2 + \sqrt{ 2-x}}}=x

的解為：

x = 2\cos\left(\frac{\pi}{9}\right)\\

這也就是拉馬努金最早發現的式子。

k=1

時，

a=4

，連根式

\sqrt{ 4+ \sqrt{ 4 + \sqrt{ 4-x}}}=x

的解為：

x=2 \cos \left(\frac{4 \pi }{19}\right)+2 \cos \left(\frac{6 \pi }{19}\right)+2 \cos \left(\frac{10 \pi }{19}\right)\\

k=2

時，

a=8

，連根式

\sqrt{ 8+ \sqrt{ 8 + \sqrt{ 8-x}}}=x

的解為：

x=2 \cos \left(\frac{3 \pi }{37}\right)+2 \cos \left(\frac{5 \pi }{37}\right)+2 \cos \left(\frac{7 \pi }{37}\right)+2 \cos \left(\frac{13 \pi }{37}\right)\\+2 \cos \left(\frac{19 \pi }{37}\right)+2 \cos \left(\frac{33 \pi }{37}\right)-1

k=3

時，

a=14

，連根式

\sqrt{ 14+ \sqrt{ 14 + \sqrt{ 14-x}}}=x

的解為：

x=2 \cos \left(\frac{\pi }{63}\right)+2 \cos \left(\frac{5 \pi }{63}\right)+2 \cos \left(\frac{11 \pi }{63}\right)+2 \cos \left(\frac{23 \pi }{63}\right)\\+2 \cos \left(\frac{25 \pi }{63}\right)+2 \cos \left(\frac{55 \pi }{63}\right)-1

k=4

時，

a=22

，連根式

\sqrt{ 22+ \sqrt{ 22 + \sqrt{22-x}}}=x

的解為：

x=2 \cos \left(\frac{8 \pi }{97}\right)+2 \cos \left(\frac{12 \pi }{97}\right)+2 \cos \left(\frac{18 \pi }{97}\right)+2 \cos \left(\frac{20 \pi }{97}\right)\\+2 \cos \left(\frac{22 \pi }{97}\right)+2 \cos \left(\frac{28 \pi }{97}\right)+2 \cos \left(\frac{30 \pi }{97}\right)\\+2 \cos \left(\frac{34 \pi }{97}\right)+2 \cos \left(\frac{42 \pi }{97}\right)+2 \cos \left(\frac{46 \pi }{97}\right)\\+2 \cos \left(\frac{50 \pi }{97}\right)+2 \cos \left(\frac{52 \pi }{97}\right)+2 \cos \left(\frac{64 \pi }{97}\right)\\+2 \cos \left(\frac{70 \pi }{97}\right)+2 \cos \left(\frac{78 \pi }{97}\right)+2 \cos \left(\frac{96 \pi }{97}\right)-1

上述結果相比我在《拉馬努金連根式的推廣（3）——用三角函式cos表示根號n的迴圈連根式 - 知乎 （zhihu。com）》所得到的更為壯觀和複雜，所用方法對我啟發很大，尤其是討論區最下方處，davidoff303 給出的式子：

(x^{3}-3x^{2}-18x+55)=(x-1-\sum_{t=0}^{1}\sum_{k=0}^{5}\cos(\frac{2\pi }{63}\cdot2^{3t}\cdot5^{k})) \\ \times (x-1-\sum_{t=0}^{1}\sum_{k=0}^{5}\cos(\frac{2\pi }{63}\cdot2^{3t+1}\cdot5^{k}))\\ \times(x-1-\sum_{t=0}^{1}\sum_{k=0}^{5}\cos(\frac{2\pi }{63}\cdot2^{3t+2}\cdot5^{k}))

我參考了上式及 math。stackexchange 的其他討論貼的方法，嘗試把自然數

n

的平方根表示為若干個三角函式相加的式子。經幾個晚上探索，得到：

\sqrt{5}=1+4 \sum _{k=1}^1 \cos \left(\frac{2 \pi }{5} 4^k\right)=2 \sum _{k=1}^1 \cos \left(\frac{\pi}{5} 2^k\right)+2 \sum _{k=1}^1 \cos \left(\frac{2 \pi }{5} 2^k+\pi \right)

\sqrt{13}=1+4 \sum _{k=1}^3 \cos \left(\frac{2 \pi}{13} 3^k\right)=2 \sum _{k=1}^3 \cos \left(\frac{\pi }{13}3^k\right)+2 \sum _{k=1}^3 \cos \left(\frac{2 \pi }{13} 3^k\right)

\sqrt{17}=1+4 \sum _{k=1}^4 \cos \left(\frac{2 \pi }{17} 2^k\right)=2 \sum _{k=1}^4 \cos \left(\frac{2 \pi}{17}2^k\right)+2 \sum _{k=1}^4 \cos \left(\frac{3 \pi }{17} 2^k+\pi \right)

\sqrt{29}=1+4 \sum _{k=1}^7 \cos \left(\frac{2 \pi}{29} 4^k\right)=2 \sum _{k=1}^7 \cos \left(\frac{2 \pi}{29}4^k\right)+2 \sum _{k=1}^7 \cos \left(\frac{\pi}{29}4^k +\pi \right)

\sqrt{3}=2 \sum _{k=1}^1 \sin \left(\frac{\pi }{3}2^k\right)

\sqrt{7}=2 \sum _{k=1}^3 \sin \left(\frac{\pi }{7} 2^k\right)

\sqrt{11}=2 \sum _{k=1}^5 \sin \left(\frac{\pi }{11}5^k\right)

\sqrt{19}=2 \sum _{k=1}^9 \sin \left(\frac{\pi }{19}5^k\right)

\sqrt{23}=2 \sum _{k=1}^{11} \sin \left(\frac{\pi }{23}2^k\right)

\cdots

由上面的式子，再經過一系列的運算和變形，最終得到上一篇《拉馬努金連根式的推廣（4）——任意自然數n的平方根均可表示為不多於n/2個cos（Pi*k/（2n））的和》中所列出的結果。

二、任意自然數的平方根表示為三角函式連乘之積

昨天整理了上一篇文章後，今天（2021年9月17日）在乘坐高鐵的旅途上，我無意中翻看到前些天收藏的一文：

看到非常漂亮的結果（原文的命題9，本文略調整了形式）：

（1）

\sqrt{m}=2^{m-1} \prod _{k=1}^{m-1} \sin \left(\frac{k \pi }{2 m}\right)

（2）

\sqrt{m}=2^{m-1} \prod _{k=1}^{m-1} \cos \left(\frac{k \pi }{2 m}\right)

（3）

\sqrt{2 m+1}=2^m \prod _{k=1}^m \sin \left(\frac{k \pi}{2 m+1}\right)

（4）

\sqrt{2 m+1}=2^m \prod _{k=1}^m \cos \left(\frac{ (2 k-1)\pi }{2 (2 m+1)}\right)

其中（1）和（2）對所有自然數都成立，（3）和（4）對應奇數

2 m+1

，尤其是（3）式，式子左邊的根號內是

2m+1

，式子右邊的三角函式的分母也是

2 m+1

。例如：

\sqrt{3}=2^1 \sin \left(\frac{\pi }{3}\right)

\sqrt{5}=2^2 \sin \left(\frac{\pi }{5}\right) \sin \left(\frac{2 \pi }{5}\right)

\sqrt{7}=2^3 \sin \left(\frac{\pi }{7}\right) \sin \left(\frac{2 \pi }{7}\right) \sin \left(\frac{3 \pi }{7}\right)

\sqrt{9}=2^4 \sin \left(\frac{\pi }{9}\right) \sin \left(\frac{2 \pi }{9}\right) \sin \left(\frac{3 \pi }{9}\right) \sin \left(\frac{4 \pi }{9}\right)

\sqrt{11}=2^5 \sin \left(\frac{\pi }{11}\right) \sin \left(\frac{2 \pi }{11}\right) \sin \left(\frac{3 \pi }{11}\right) \sin \left(\frac{4 \pi }{11}\right) \sin \left(\frac{5 \pi }{11}\right)

\sqrt{13}=2^6 \sin \left(\frac{\pi }{13}\right) \sin \left(\frac{2 \pi }{13}\right) \sin \left(\frac{3 \pi }{13}\right) \sin \left(\frac{4 \pi }{13}\right) \sin \left(\frac{5 \pi }{13}\right) \sin \left(\frac{6 \pi }{13}\right)

\sqrt{15}=2^7 \sin \left(\frac{\pi }{15}\right) \sin \left(\frac{2 \pi }{15}\right) \sin \left(\frac{3 \pi }{15}\right) \sin \left(\frac{4 \pi }{15}\right) \sin \left(\frac{5 \pi }{15}\right) \sin \left(\frac{6 \pi }{15}\right) \sin \left(\frac{7 \pi }{15}\right)

此外，我還注意到：

2^m \prod _{k=1}^m \cos \left(\frac{k \pi}{2 m+1}\right)=1\\

例如：

2^1 \cos \left(\frac{\pi }{3}\right)=1

2^2 \cos \left(\frac{\pi }{5}\right) \cos \left(\frac{2 \pi }{5}\right)=1

2^3 \cos \left(\frac{\pi }{7}\right) \cos \left(\frac{2 \pi }{7}\right) \cos \left(\frac{3 \pi }{7}\right)=1

2^4 \cos \left(\frac{\pi }{9}\right) \cos \left(\frac{2 \pi }{9}\right) \cos \left(\frac{3 \pi }{9}\right) \cos \left(\frac{4 \pi }{9}\right)=1

2^5 \cos \left(\frac{\pi }{11}\right) \cos \left(\frac{2 \pi }{11}\right) \cos \left(\frac{3 \pi }{11}\right) \cos \left(\frac{4 \pi }{11}\right) \cos \left(\frac{5 \pi }{11}\right)=1

對於偶數，除了可利用公式（1）和（2）以外，也可以適當分類，令乘積項數減少。例如利用

\sqrt{4 m+2}=\left(2^{m+1} \prod _{k=1}^m \cos \left(\frac{\pi (2 k-1)}{4 m+2}\right)\right) \cos \left(\frac{ (2 m+1)\pi }{8 m+4}\right)

，有

\sqrt{6}=2^2 \cos \left(\frac{\pi }{6}\right) \cos \left(\frac{3 \pi }{12}\right)

\sqrt{10}=2^3 \cos \left(\frac{\pi }{10}\right) \cos \left(\frac{3 \pi }{10}\right) \cos \left(\frac{5 \pi }{20}\right)

\sqrt{14}=2^4 \cos \left(\frac{\pi }{14}\right) \cos \left(\frac{3 \pi }{14}\right) \cos \left(\frac{5 \pi }{14}\right) \cos \left(\frac{7 \pi }{28}\right)

\sqrt{18}=2^5 \cos \left(\frac{\pi }{18}\right) \cos \left(\frac{3 \pi }{18}\right) \cos \left(\frac{5 \pi }{18}\right) \cos \left(\frac{7 \pi }{18}\right) \cos \left(\frac{9 \pi }{36}\right)

\sqrt{22}=2^6 \cos \left(\frac{\pi }{22}\right) \cos \left(\frac{3 \pi }{22}\right) \cos \left(\frac{5 \pi }{22}\right) \cos \left(\frac{7 \pi }{22}\right) \cos \left(\frac{9 \pi }{22}\right) \cos \left(\frac{11 \pi }{44}\right)

三、從三角函式的連乘之積到三角函式連加之和

既然任何自然數

n

的平方根 ，既可以表示為三角函式的和，也可以表示為三角函式的積，那麼兩種表示方式之間可否直接轉換呢？嘗試後我發現，只需用三角函式的積化和差公式，就可直接把表示

\sqrt{n}

的三角函式連乘之積輕易轉換為表示 相應的三角函式連加之和。例如：

由

\sqrt{11}=2^5 \sin \left(\frac{\pi }{11}\right) \sin \left(\frac{2 \pi }{11}\right) \sin \left(\frac{3 \pi }{11}\right) \sin \left(\frac{4 \pi }{11}\right) \sin \left(\frac{5 \pi }{11}\right)

經幾次積化和差轉換後，即可得到：

\sqrt{11}=2 \sin \left(\frac{\pi }{11}\right)+2 \sin \left(\frac{2 \pi }{11}\right)+2 \sin \left(\frac{3 \pi }{11}\right)-2 \sin \left(\frac{4 \pi }{11}\right)+2 \sin \left(\frac{5 \pi }{11}\right)

又如，由

\sqrt{15}=2^7 \sin \left(\frac{\pi }{15}\right) \sin \left(\frac{2 \pi }{15}\right) \sin \left(\frac{3 \pi }{15}\right) \sin \left(\frac{4 \pi }{15}\right) \sin \left(\frac{5 \pi }{15}\right) \sin \left(\frac{6 \pi }{15}\right) \sin \left(\frac{7 \pi }{15}\right)

經積化和差轉換後，可得到：

\sqrt{15}=-2 \sin \left(\frac{\pi }{15}\right)+2 \sin \left(\frac{2 \pi }{15}\right)+2 \sin \left(\frac{4 \pi }{15}\right)+2 \sin \left(\frac{7 \pi }{15}\right)

不過，反過來由表示

\sqrt{n}

的三角函式連加之和的式子，要透過和差化積公式轉換為相應的三角函式連乘之積，就有些麻煩，尤其

n

為合數的情形（因為部分相加項的係數已經被化簡為0所致）。

無論如何，這確實是極為戲劇性的一個結果：

對於

\sqrt{n}

，

我用了幾個晚上花費一番周折得到的三角函式連加之和的式子，可以直接透過三角函式連乘之積的式子，輕易得到

。

尤其最簡捷的方式：直接用Mathematica軟體的TrigReduce命令。如：

\text{Expand}\left[\text{TrigReduce}\left[2^8 \sin \left(\frac{\pi }{17}\right) \sin \left(\frac{2 \pi }{17}\right) \sin \left(\frac{3 \pi }{17}\right) \sin \left(\frac{4 \pi }{17}\right) \sin \left(\frac{5 \pi }{17}\right) \sin \left(\frac{6 \pi }{17}\right) \sin \left(\frac{7 \pi }{17}\right) \sin \left(\frac{8 \pi }{17}\right)\right]\right]

直接得到結果：

2 \sin \left(\frac{\pi }{34}\right)+2 \sin \left(\frac{3 \pi }{34}\right)-2 \sin \left(\frac{5 \pi }{34}\right)+2 \sin \left(\frac{7 \pi }{34}\right)-2 \cos \left(\frac{\pi }{17}\right)+2 \cos \left(\frac{2 \pi }{17}\right)+2 \cos \left(\frac{3 \pi }{17}\right)+2 \cos \left(\frac{4 \pi }{17}\right)

統一轉為餘弦函式後，即可得到：

\sqrt{17}=-2 \cos \left(\frac{\pi }{17}\right)+2 \cos \left(\frac{2 \pi }{17}\right)+2 \cos \left(\frac{3 \pi }{17}\right)+2 \cos \left(\frac{4 \pi }{17}\right)+2 \cos \left(\frac{5 \pi }{17}\right)-2 \cos \left(\frac{6 \pi }{17}\right)\\+2 \cos \left(\frac{7 \pi }{17}\right)+2 \cos \left(\frac{8 \pi }{17}\right)

儘管如此，我認為前幾個晚上所探求的方法還是頗具價值的。我的之前的文章中曾提及：似乎有相當部分的整係數一元高次方程的根，都可以用三角函式的和來表示。在math stack exchange 的討論區中，對於一元三次方程已經有很多帖子討論這一點。我一直嘗試用在更高次的某些特殊方程上，尤其是等冪和問題相關的。我在以下這篇文章的第二部分，詳述了一個在2021年7月探索成功的例子：該

n

元

n

次

n

個等式的方程組，作為等冪和問題的一種特殊而重要情形，其全部實數解可以用餘弦函式來簡潔表達，其中

n

為任意自然數。