狄拉克『量子力學原理』61 頁式 (13) 是什麼意思?YorkYoung2019-04-24 12:22:02

所以說物理書上數學不嚴格的地方就是害人不淺，分析這個問題之前，請允許我先講一個故事。

我剛上大學時，最喜歡泡在圖書館裡面翻各種數學和物理相關的書，我剛開始學力學的時候，接觸了一個概念叫做轉動慣量，這個東西我開始只能把它理解成一個矩陣。但力學老師說了，矩陣只是某個座標系下的分量，整體的張量是和座標系無關的東西。

於是我翻了一下《張量分析》，然後被嚇跑了，複雜的變換規律，逆變協變一大堆搞不懂的概念，初學者根本無法看懂的愛因斯坦求和約定。之後我接觸了許多物理書都用到了張量，但沒有一次我看懂了張量是什麼。

直到後來，學校開了一門課，微分幾何與廣義相對論入門，沒錯就是同名書的作者梁燦彬老先生開的，可惜到了我們這一屆，梁老師已經老了，沒有在學校裡面開課了（改到中科院物理所每週講一次），改由他的學生，也是北師大的教授教課。然後課中說到，張量是一個多重線性函式。

這TM一句話就把我多年疑惑全部打散了，愛因斯坦求和約定原來就是張量縮並啊！逆變就是切空間，協變就是餘切空間啊！座標就是流形上開集到歐氏空間的同胚啊！你把話說清楚不就完了嗎？

搞不懂δ函式也是類似的，我一開始也搞不懂，一個函式的取值怎麼能是無窮，既然只有一個點不為0，一個點的長度是0，怎麼可能積分出來為1？廣義函式到底是個什麼玩意兒？

後來在泛函分析和偏微分方程的廣義函式相關部分，我搞懂了，原來δ函式不是函式是線性泛函，所謂是某些函式的極限，是指作為泛函的弱極限。

\langle\delta,\varphi\rangle=\int_\mathbb{R}\delta(x)\varphi(x)dx=\varphi(0)

這就是δ函式的確切定義。

好我們回到題目，實際上廣義函式不一定是函式，比如δ函式，不過反過來，函式也不一定就是廣義函式，一個函式對應瞭如下廣義函式

\langle f,\varphi\rangle=\int_\mathbb{R}f(x)\varphi(x)dx

這要求

f

是區域性可積的，也就是說在任意緊集中都要可積。但是

\frac{1}{x}

不是區域性可積的，它在0的緊鄰域中是不可積的，但我們可以規定如下兩個弱極限

\langle f_\pm,\varphi\rangle=\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+}\int_\mathbb{R}\frac{\varphi(x)}{x\mp i\varepsilon}dx

就得到了兩個線性無關的廣義函式，從複變函式的角度看

f_\pm

表示了兩種繞開奇點0的路徑，即分別從下方和上方，而它們之差就是在0附近的環路積分，即有

\langle f_+-f_-,\varphi\rangle=\oint_{C(0,\varepsilon)}\frac{\varphi(z)}{z}dz=2\pi i\varphi(0)

於是

f_+-f_-=2\pi i\delta(x)

。

書上那個方程是沒有意義的，

\frac{1}{x}

並不是一個廣義函式，它與δ函式的和是未定義的，必須嚴格寫出來是

\frac{1}{x+i\varepsilon}

還是

\frac{1}{x-i\varepsilon}

，還是它們的線性組合。

補充一下有人提到的

PV\frac{1}{x}

是個什麼，我們定義的

\frac{1}{x\mp i\varepsilon}

這個東西是個復值廣義函式，且互為複共軛，如果我們要定義一實廣義函式，就要考慮這兩個複函式的實部和虛部，但虛部我們求出來是δ函式沒有新東西，只有找實部，於是定義

PV\frac{1}{x}=\frac{1}{2}(f_++f_-)

即

\langle PV\frac{1}{x},\varphi\rangle=\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\int_\mathbb{R}\frac{x\varphi(x)}{x^2+\varepsilon^2}dx=\int_\mathbb{R}\frac{\varphi(x)-\varphi(-x)}{2x}dx

狄拉克『量子力學原理』61 頁式 (13) 是什麼意思?匿名使用者2019-04-24 15:05:46

記

f\in S^{*}(\mathbb{R})

為Schwarz 分佈，光滑函式自然的作用在上面，他這裡想討論的是分佈意義的等式

xf=1

有哪些解，一般而言就是，

f=PV(\frac{1}{x})+c\,\delta(x)

通常第二項具體表現為contact terms，有時候會有物理意義。

還有一個下面有人提到的，

\frac{1}{x-i\epsilon}=PV(\frac{1}{x})+\pi i \delta(x)

（up to a sign。）也是常用的分佈意義的等式。

這個可以理解為把傳播子分解為on-shell和off-shell的部分。

狄拉克『量子力學原理』61 頁式 (13) 是什麼意思?知乎使用者2019-04-25 11:22:10

這些式子的討論基於廣義函式

\delta

，根據（7） 式A和B等價的一般形式為

A = B + c x\delta(x)

。 消去律需要考慮系統範圍內最一般的形式，否則會引出悖論。因此（13）式應用消去律的時候採用的是一般形式的（12）式得到。

如果討論是基於代數函式的，那麼（7）不存在，A和B等價的一般形式有且僅有

A=B

，那麼

A/x = B/x

成立。

狄拉克『量子力學原理』61 頁式 (13) 是什麼意思?嚕啦啦2019-09-30 16:15:20

那個13式左右兩邊同時乘以x，左右相等，作者想表達的意思應該是13式比12式更準確吧，因為12式x不能等於0