唔，這是一道最近老師佈置的作業裡碰到的一道機率統計題，覺得挺不錯的，打出來跟大家分享一下。

XX公司為了促銷，推出了“玩遊戲，抽大獎”活動，客戶根據投擲硬幣的結果，操控遙控車車在方格圖上前進若遙控車停在勝利大本營，則客戶可獲得優惠券，硬幣正面和反面朝上的機率均為0。5，方格上標有第0格，第1格……第50格。遙控車車開始在第0格，若擲出正面，車車向前移動一格（從k到k+1），若擲出反面，車車向前移動兩格（從k到k+2），直到遙控車車移動到第49格勝利，設移動到第n格時機率為Pn，試說明

｛P_{n}-P_{n-1}｝

為等比數列，並求其通項。

這就是抽取的題目內容，很顯然和遞推有關，下面給出做法。

顯然

P_{0}＝1，P_{1}＝\frac{1}{2}

。

遙控車車移動到第n格前一步分為兩種情況。

①當遙控車車先移動到第n-2格，此時要到第n格應擲反面，此種情況對應機率為

\frac{1}{2}P_{n-2}

。

②當遙控車車先移動到第n-1格，此時要到第n格應擲正面，此種情況對應機率為

\frac{1}{2}P_{n-1}

。

故有

P_{n}＝\frac{1}{2}P_{n-1}+\frac{1}{2}P_{n-2}

，化簡得

P_{n}-P_{n-1}＝-\frac{1}{2}（P_{n-1}-P_{n-2}）

。

故當1≤n≤49時

｛P_{n}-P_{n-1}｝

為首項為P1-P0＝

-\frac{1}{2}

，公比為

-\frac{1}{2}

的等比數列

故有

P_{1}-1＝-\frac{1}{2}

，

P_{2}-P_{1}＝（-\frac{1}{2}）^{2}

，

P_{3}-P_{2}＝（-\frac{1}{2}）^{3}

，

P_{n}-P_{n-1}＝（-\frac{1}{2}）^{n}

，各式相加，得

P_{n}-1＝-\frac{1}{2}+（-\frac{1}{2}）^{2}+……+（-\frac{1}{2}）^{n}

。

所以

P_{n}＝\frac{2}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n+1}]

。

唔，得出結果（水了篇文章。。），這樣的模型在機率統計題中稍易，大家面對這類問題時一定要抓到核心遞推公式，轉化為數列就簡單多了！

碼公式不易，點個收藏點個贊再走⑧

大家如果對機率統計大題感興趣，可以康康我以前的文章。

也歡迎關注我的專欄，高中數學機率統計。