在國際數學競賽中機率的考察往往也是古典概型和幾何概型，但有些題目卻找不到樣本空間，只有事件的交錯與轉化，看著很是複雜，這裡就介紹一種方法——

透過事件間的關係列出方程組求出機率值

。下面透過2017年AMC12A的第22題來講解一下。

【國際數學競賽】列方程求機率

題目很長，我們來講解一下：

（1）一粒子在網格中（如下圖所示），

從(0,0)點出發,每秒都以 #FormatImgID_3# 的機率轉移到以該點為中心的九宮格的其他八個點中

，如開始一秒後，粒子從（0，0）點等機率轉移到（-1，1）、（-1，0）、（-1，-1）、（0，-1）、（1，-1）、（1，0）、（1，1）、（0，1）上；

（2）粒子

不能碰到紅色的點

，如果碰到就結束；

（3）問題：

從(0,0)點出發最後到達(-2,2)、(-2,-2)、(2,-2)、(2,2)四點(標星點)的機率是多少？

【國際數學競賽】列方程求機率

這裡我們可以感受一下這題目的難點在什麼地方：

（1）粒子的轉移是隨機的，是一個隨機過程；

（2）粒子的轉移過程中會出現很多重複的情況，比如（0，0）點到（1，1），但是（1，1）又可以回到（0，0），如下圖所示，且不能碰到紅點；

【國際數學競賽】列方程求機率

（3）這個到達目的地的過程可以是無窮的，沒有辦法窮盡；

那麼我們該如何解決該問題呢？

我們可以把圖上過程中的點（到了該點沒有結束，即除了紅點和五角星點）分成三種狀態，原點、正方形點、三角形點，如下圖

【國際數學競賽】列方程求機率

為什麼是分成這三種狀態呢？

因為有相同標誌的點到標星點的機率是一樣的，所以在這個問題中是等價的，我們可以看成是同一種狀態。

接下去，我們設

（1）

狀態一

：從原點（0，0）出發到標星點（-2，2）、（-2，-2）、（2，-2）、（2，2）的機率為

P_1

；

（2）

狀態二

：從三角形點（-1，0）、（0，-1）、（1，0）、（0，1）出發到標星點（-2，2）、（-2，-2）、（2，-2）、（2，2）的機率為

P_2

（3）

狀態三

：從正方形點（-1，-1）、（-1，-1）、（1，-1）、（1，1）出發到標星點（-2，2）、（-2，-2）、（2，-2）、（2，2）的機率為

P_3

設了三個未知數，就需要有三個方程來求解，接下去我們就根據狀態間的相互轉化來構造方程組。

【國際數學競賽】列方程求機率

從原點出發出發到各標星點的機率為

P_1

，從原點出發可以分為8種情況，4種到狀態二、4種狀態三，都是等機率的，而這些狀態到最後標星點的機率我們是知道的所以有：

P_1=4\cdot\frac{1}{8}P_2+4\cdot\frac{1}{8}P_3=\frac{1}{2}P_2+\frac{1}{2}P_3

接下去如果從狀態二出發，我們又可以列出一個方程：

【國際數學競賽】列方程求機率

P_2=\frac{1}{8}P_1+2\cdot\frac{1}{8}P_2+2\cdot\frac{1}{8}P_3+3\cdot\frac{1}{8}\cdot 0=\frac{1}{8}P_1+\frac{1}{4}P_2+\frac{1}{4}P_3

注：到紅點後，粒子結束運動，所以到紅點後再到標星點的機率為0。

最後根據狀態三的轉化，得到第三個方程：

【國際數學競賽】列方程求機率

P_3=\frac{1}{8}+\frac{1}{8} P_1+2\cdot \frac{1}{8} P_2+4\cdot\frac{1}{8}\cdot0=\frac{1}{8}+\frac{1}{8} P_1+ \frac{1}{4} P_2

聯立方程就可以解出

P_1,P_2,P_3

值，

\left\{\begin{array}{l}{P_{1}=\frac{1}{2} P_{2}+\frac{1}{2} P_{3}} \\ {P_{2}=\frac{1}{8} P_{1}+\frac{1}{4} P_{2}+\frac{1}{4} P_{3}} \\ {P_{3}=\frac{1}{8}+\frac{1}{8} P_{1}+\frac{1}{4} P_{2}}\end{array}\right.

\left\{\begin{array}{l}{P_{1}=\frac{4}{35}} \\ {P_{2}=\frac{1}{14}} \\ {P_{3}=\frac{11}{70}}\end{array}\right.

，

於是，我們就知道了從原點出發到標星點得機率為

\boxed{\frac{4}{35}}

。

列方程求機率免去了考慮事件的整個過程，而是考慮事件間的聯絡，把一個錯綜複雜的機率問題轉化成了解方程，舉重若輕。正如《教父》中所說的“

花半秒鐘就看透事物本質的人，和花一輩子都看不清事物本質的人，註定是截然不同的命運。”

走了走了，不裝了，不過列方程確實是求解此類問題非常好的方法。

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