Update：整理後的正文可以直接搜尋#乾淨的總結#，但如果直接看總結部分，可能會丟掉許許多多理解（也可能不會……畢竟我語文沒那麼好）

看了一篇文章，說的是正十七邊形的尺規作圖

嗯，那篇文章，讓我回憶起了一個故事，在本文開始之前，我希望先講講故事——畢竟，如果一個人連自己“為什麼好奇”而疑惑的時候，是不可能真正滿足自己的好奇心的。

問題很簡單，也很不簡單：比較兩個數的大小。

說它簡單是因為，是個人都知道，3比2大，2019比1994大

然而，事情並沒有那麼簡單，比如我們知道“天”跟“地”在計算機裡，都是由某種編碼儲存的——那麼，在utf-8編碼下，天大還是地大？？

事實上，我們小時候學的，比較大小的方法，真的是不得了的演算法

——有一個問題叫做離散對數問題（discrete logarithm problem，DLP），這個問題有許多很漂亮但是耗時很長的演算法，歸根結底只是，我們不能透過我們定義的規則比較大小的緣故

……扯遠了，返回“比較大小”吧。

小學一年級的比較大小，是這樣寫的：

對兩個自然數，比較大小的時候先比較它們的位數，位數相等則從最高位開始依次比較，若某一位不相等，這一位較大的數字更大，否則兩數相等

原話忘掉了，但大概是這樣的一個東西。

我背這個，背到了小學三年級，而後遇到了一道題

比較

1

與無限迴圈小數

0.\dot{9}

我按照那個演算法來了

首先對齊小數點，然後從最高位開始比較，1比0大，演算法結束——

1>0.\dot{9}

。

當時我氣得不行，差點直接翻出小學一年級的數學書跟老師理論。幸運的是老師很快說服了意志不堅定的我，否則說不得數學考出過69+20（滿分100+20，+20是附加題，只是好看，並不計入排名）的我就要棄理從文了。

誰錯了？

1顯然是等於

0.\dot{9}

的，而小學一年級的數學書也註明了，“對兩個自然數”——顯然

0.\dot{9}

在大多數人眼中不是自然數（然而……這個數等於1，1是自然數，所以

0.\dot{9}

是自然數……這是我剛剛想到的……簡直有毒）

——能記住的，只有那時候老師用的9x=9那種證法，我忘記了有沒有用過

a<{a+b\over2}<b

這個證法——但我個人更傾向這種證法，哪怕對文科生，只要你讓ta指出

1+0.\dot{9}\over2

的小數表示形式，ta基本就明白這兩個數字相等了——而對文科生，（10-1）x=9。000000。。。這種證法很可能超出了50%文科生的數學理解能力。

有時候我真的很不信任大學以下的教科書（大學教科書只有印刷錯誤，但大學之下的教科書並不是這樣。）原因很簡單，我們費盡千辛萬苦學到的，很可能是錯的——而正因為它們處在更靠前更容易理解的位置，我們反而容易因此，在理解了書作者想要我們理解的一切的同時，收穫許多本不應該收穫的誤解。

——那又有什麼關係呢？你的小學很好，於是你上了一個好初中，於是你上了一個好高中，結果，高考失利——哪怕你知道，高考失利是小學初中老師的沉痾弊疾積重難返——那又如何？難道你還能去小學老師那裡，理直氣壯地說，“都是你沒教好我”嗎？

有一種錯覺叫做“我會”——因為很多人把“我會”等同於“我明白”，就比如，每個人都會玩dota之類的遊戲——哪怕你沒接觸過，你也會操控英雄，衝出兵線，跑到對方防禦塔下，然後被對方英雄擊殺——然而，這樣的“會”，又怎麼能真正的，等同於“明白”呢？

這一次，我想寫的，則是，明明白白的Fermat素數與正N邊形的關係。

說實在的，理解這一堆東西，並不容易，如果你只是想，像“學會如何比較大小”一樣，“學會如何做正十七邊形”，你們可能還需要自己補充“如何用尺規開根號，做乘除法”這件事。如果你已經學會了正十七邊形的做法，而想知道更靠後的，比如正二百五十七邊形的做法，讀這篇文章，正當時。

當然，如果你其實感興趣的是正65537邊形……你可以直接讀論文了，這篇文章對你而言，或許，太過淺顯了一些。

Gauss的工作，其實是相當漂亮的

然而，在理解這種漂亮之前，我們必須先認識幾個漂亮的事物，比如同餘，比如原根。

為什麼會出現這兩個東西呢？因為，三角函式，本來就是自帶一個“求餘數”功能的，兩個除以

2\pi

“餘數”相同的數字，它們的三角函式值也是相同的——這便是“同餘”的意義，歸根結底只是簡化計算而已。

至於為什麼我說“求餘數”，大約是，我們在算比如

\text{cos}{2\pi\over7}

的時候，我們可以看作是在計算

\text{cos}(2\pi{1\over7})

，所有除以

2\pi

的“餘數”是

2\pi{1\over7}

的數字，它們的餘弦值都會等於

\text{cos}(2\pi{1\over7})

，由於大家都是除以

2\pi

難以分辨，我們不妨寫成把這類數字率先除以

2\pi

——然後我們就看到了這類數字的真面目：除以

2\pi

之後得到的結果是，【除以7餘1】

為了不羅索，接下來的討論將不涉及

2\pi

這個煩人的東西。

原根，在說這個概念之前，我們需要複習另一個概念，既約剩餘系，或者，簡化剩餘系。

這些，對初學者來說過於複雜，如果有興趣可以看一看“費馬小定理”嗯，就是“費馬大定理”的那個費馬，這是他提出的小定理——看完這個小定理，就可以學原根的相關知識了。

原根，是一種，對每一個素數都存在的神奇數字，比如3就是17（以及所有費馬素數）的原根

我們會發現，3的1到16次方除以17的餘數互不相同，而且3^16除以17餘數恰好是1

20：07：45> a=Vec（0，16）；for（i=1，16，a［i］=3^i%17）；a

%1 = ［3， 9， 10， 13， 5， 15， 11， 16， 14， 8， 7， 4， 12， 2， 6， 1］

有定理證明原根對所有素數都存在（不一定好找，卻很好構造）

對費馬素數，有人證明了3一定是費馬素數的原根（可能不好證，我不知道證明，但這是細節問題，下文的3可以換成任何一個原根）

Gauss做正17邊形的做法很簡單——只要尺規做出長度為

\text{cos}{2\pi\over7}

的線段，一切問題迎刃而解，而事實上這個數值等於

\frac{1}{4 \sqrt{\frac{2}{\sqrt{17}-\sqrt{2 \left(17-\sqrt{17}\right)}+\sqrt{2 \left(6 \sqrt{17}+\sqrt{2 \left(17-\sqrt{17}\right)}-\sqrt{34 \left(17-\sqrt{17}\right)}+8 \sqrt{2 \left(\sqrt{17}+17\right)}+34\right)}+15}}}

的確是一個根式——emmm，這就是最流氓的證明方法。

而解釋這個根式是怎麼來的，以及其他的素數為什麼得不出類似公式，便是這篇文章的內容。

首先，Gauss注意到了，對

\begin{split}&\text{cos}{3*2\pi\over17}+\text{cos}{9*2\pi\over17}+\text{cos}{10*2\pi\over17}+\text{cos}{13*2\pi\over17}+\text{cos}{5*2\pi\over17}+\text{cos}{15*2\pi\over17}+\text{cos}{11*2\pi\over17}+\text{cos}{16*2\pi\over17}\\ +&\text{cos}{14*2\pi\over17}+\text{cos}{8*2\pi\over17}+\text{cos}{7*2\pi\over17}+\text{cos}{4*2\pi\over17}+\text{cos}{12*2\pi\over17}+\text{cos}{2*2\pi\over17}+\text{cos}{6*2\pi\over17}+\text{cos}{1*2\pi\over17} \end{split}

這個式子的和等於-1，這個可以用

x^{17}=1

這個方程，以及韋達定理，以及尤拉公式，以及上面那一坨其實就是

\text{cos}{1*2\pi\over17}

+

\text{cos}{2*2\pi\over17}

+。。。一直加到

\text{cos}{16*2\pi\over17}

，推出這一坨的和等於-1真的是相當容易的，甚至對於那些不是費馬素數的數字，我們已然可以推出一個類似的等式。

這時候，天才的Gauss想到，我們能否把這組數字分成a與b，然後把a跟b分別求出來呢？

——事實上，如果知道兩數和，知道兩數積，求出這兩個數字是相當容易的事情，在這裡，困難的只是，

推出它們的乘積

。

事實上，“乘積”才是“費馬素數”這個條件的關鍵——不理解“乘積”，便不能理解“費馬素數”。

而乘積，處理方法只是，和差化積

其實有時候，問題比你想象得簡單很多

只要肯算，就能算出來

然而不算，或者看到“肯算就有答案”所以“勞資不算了”

——後面這個，才是數學認知的最大障礙。

還記得題目一開始的那個問題嗎？

有些時候，有些東西，只有親手算一遍——或者至少看人家算一遍，才能理解。

慢慢算，不急，能看到這一行的，大多時間比知識更寬裕些。

我們要用的，只有這一個公式：

cos（m+n）+cos（m-n）=2cos（m）cos（n）

不知道，有沒有人原意，把這個式子裡面的m跟n乘以9

cos（9（m+n））+cos（9（m-n））=2cos（9m）cos（9n）

看上去變了

看上去沒變

變的是數字，不變的是形式。

不變的，是對稱。

——又有沒有人，把那一坨和為-1的數值，乘個9呢？

\begin{split} &\text{cos}{3*2\pi\over17}+\text{cos}{9*2\pi\over17}+\text{cos}{10*2\pi\over17}+\text{cos}{13*2\pi\over17}+\text{cos}{5*2\pi\over17}+\text{cos}{15*2\pi\over17}+\text{cos}{11*2\pi\over17}+\text{cos}{16*2\pi\over17}\\ +&\text{cos}{14*2\pi\over17}+\text{cos}{8*2\pi\over17}+\text{cos}{7*2\pi\over17}+\text{cos}{4*2\pi\over17}+\text{cos}{12*2\pi\over17}+\text{cos}{2*2\pi\over17}+\text{cos}{6*2\pi\over17}+\text{cos}{1*2\pi\over17} \end{split}

\begin{split}&\text{cos}{10*2\pi\over17}+\text{cos}{13*2\pi\over17}+\text{cos}{5*2\pi\over17}+\text{cos}{15*2\pi\over17}+\text{cos}{11*2\pi\over17}+\text{cos}{16*2\pi\over17}+\text{cos}{14*2\pi\over17}+\text{cos}{8*2\pi\over17}\\ +&\text{cos}{7*2\pi\over17}+\text{cos}{4*2\pi\over17}+\text{cos}{12*2\pi\over17}+\text{cos}{2*2\pi\over17}+\text{cos}{6*2\pi\over17}+\text{cos}{1*2\pi\over17}+\text{cos}{3*2\pi\over17}+\text{cos}{9*2\pi\over17} \end{split}

3變成了10，10變成了5，5變成了11，11變成了14，14變成了7，7變成了12，12變成了6，6變成了3，3——我們轉了一圈，哦，不對，是轉了半圈，便轉了回來。

如果我們把3，10，5，11，14，7，12，6這8個數字拎出來，剩下八個數字放一組，又會得到什麼呢？

\begin{split} &\text{cos}{3*2\pi\over17}+\text{cos}{10*2\pi\over17}+\text{cos}{5*2\pi\over17}+\text{cos}{11*2\pi\over17}+\text{cos}{14*2\pi\over17}+\text{cos}{7*2\pi\over17}+\text{cos}{12*2\pi\over17}+\text{cos}{6*2\pi\over17}\\ +&\text{cos}{9*2\pi\over17}+\text{cos}{13*2\pi\over17}+\text{cos}{15*2\pi\over17}+\text{cos}{16*2\pi\over17}+\text{cos}{8*2\pi\over17}+\text{cos}{4*2\pi\over17}+\text{cos}{2*2\pi\over17}+\text{cos}{1*2\pi\over17} \end{split}

remark：你們看到的8，4，2，1（如果你們看到了）可能並不是巧合，而很可能是“3是原根”的某個證據。

這一坨東西的和仍然是-1，而它們的乘積呢？

\begin{split} &\left(\text{cos}{3*2\pi\over17}+\text{cos}{10*2\pi\over17}+\text{cos}{5*2\pi\over17}+\text{cos}{11*2\pi\over17}+\text{cos}{14*2\pi\over17}+\text{cos}{7*2\pi\over17}+\text{cos}{12*2\pi\over17}+\text{cos}{6*2\pi\over17}\right)\\ &\left(\text{cos}{9*2\pi\over17}+\text{cos}{13*2\pi\over17}+\text{cos}{15*2\pi\over17}+\text{cos}{16*2\pi\over17}+\text{cos}{8*2\pi\over17}+\text{cos}{4*2\pi\over17}+\text{cos}{2*2\pi\over17}+\text{cos}{1*2\pi\over17}\right) \end{split}

這坨東西，cos裡面乘9相當於不乘——於是它們和差化積的結果，也應該是“乘9等於不乘”的那種

說明了什麼？——很顯然，這說明了，和差化積之後得到的cos（m*2pi/17），與cos（9m*2pi/17）的係數是相同的。

係數相同，這是很重要的一點。

還記得剛剛轉的那個“半圈”嗎？只要我們算出“半圈”裡面的一個數字的係數，我們就算出了這“半圈”裡面全部數字的係數。

和差化積，免不了

然而，我們完全可以把這件事做得更簡單一些——或者更簡單一些，我們乘3

乘3會改變這兩部分的值——或者說，不算改變，因為乘3只是做了交換。

兩部分交換了，乘積卻沒有變，也就是，兩個“半圈”的係數應該是相等的

——也就是說，你和差化積之後生成的那些項，

至少在這一步

，是相等的

Remark2：之後就未必相等了

和差化積之後，我們算出，這兩部分的乘積，於是可以算出這兩部分的值

不知道你們有沒有注意到，這兩個“半圈”，會出現在下一步和差化積之中，而下一步的“交換”，可以保證下一步中的“半圈”係數都相等，也就是，在做和差化積之後，你不會尷尬地發現，化出來的結果你不知道等於多少。

Gauss就這樣一步步把結果化出來了

至於為啥Gauss沒在論文裡給出一個正十七邊形……難道你還想讓Gauss順手畫一個正65537邊形嗎？

最後，為了防止大家覺得我是在瞎寫，給幾個係數好了

正257邊形

l31 l35 - （2*l21 + 5*l22 + 4*l23 + 5*l20） // N

1。42109*10^-14

在正257邊形化簡的第三步，出現了若干個1/4圈，這4個圈的係數分別是2，5，4，5

——四個1/4圈的係數並不相等，但在圈的內部，所有項都是一樣的

所以，我們可以計算出名叫l31跟l35這兩個1/8圈的乘積為（2*l21 + 5*l22 + 4*l23 + 5*l20）

和差化積時候手賤乘3乘9，只是為了防止圈內的係數不相等的。

否則，如果你算出來一個類似l31跟l35這兩個1/8圈的乘積為（2*l21 + 5*l22 + 4*l23 + 5*l20）+Cos［6pi/257］-Cos［11pi/257］之類的結果……就算Gauss在世人家也救不了你的。

Gauss所做的一切只是，找到了一個迭代的二分演算法，不斷地將cos（i pi/k）分成兩組並藉助方程分別求出每一組的值：

說具體一點，對Fermat素數p，如果記

f_p(n,m)=\sum _{i=1}^{\frac{p-1}{2^n}} \cos \left(3^{2^ni+m}\times\frac{2\pi}{p}\right)

，那麼

\(f_p(n,m)+f_p(n,m+2^{n-1})=f_p(n-1,m)\)

且

f_p(n,m)f_p(n,m+2^{n-1})

為集合

\{f_p(n-1,m)|m=1,2,...,2^{n-1}\}

中元素的有理係數的線性組合。

證明

\(f_p(n,m)+f_p(n,m+2^{n-1})=f_p(n-1,m)\)

相當容易，我們只需要對比一下兩邊係數是否一致。

計算

f_p(n,m)f_p(n,m+2^{n-1})

，需要注意到這樣一個事實：

如果記

g_p(n,m,k)=\sum _{i=1}^{\frac{p-1}{2^n}} \cos \left(k\times3^{2^ni+m}\times\frac{2\pi}{p}\right)

那麼

g_p(n,m,3^{2^{n-1}})=f_p(n,m+2^{n-1})

，

g_p(n,m+2^{n-1},3^{2^{n-1}})=f_p(n,m)

從而

f_p(n,m)f_p(n,m+2^{n-1})=g_p(n,m,3^{2^{n-1}})g_p(n,m+2^{n-1},3^{2^{n-1}})

注意到

2\cos(3^{2^{n-1}}m)\cos(3^{2^{n-1}}n)=\cos(3^{2^{n-1}}(m+n))+\cos(3^{2^{n-1}}(m-n))

（＊）

如果記積化和差之後的結果

2f_p(n,m)f_p(n,m+2^{n-1})=\sum_{i=1}^{p-1}c_i\cos(3^i\times\frac{2\pi}p)

那麼

2g_p(n,m,3^{2^{n-1}})g_p(n,m+2^{n-1},3^{2^{n-1}})=\sum_{i=1}^{p-1}c_i\cos(3^{2^{n-1}}\times3^i\times\frac{2\pi}p)

（這是將（＊）作用在上一式的結果）

由於c是積化和差的結果是整數，由此比較係數可知，

c_{i}=c_{i+2^{n-1}}

，將全部相等的ci拿出來，可以看出，組成的係數恰好是

f_p(n-1,m)

的各項，從而可以設

f_p(n,m)f_p(n,m+2^{n-1})=\sum_{m=1}^{2^{n-1}}\frac{C_m}{2}f(n-1,m)

這裡Cm的演算法，仍然還需要求助手動積化和差，但……算到這裡之後，剩下的部分都是已知的與體力活，是可以手算出結果的——到這裡，我們就完成了理論部分的推導。

事實上，如果不要求尺規作圖，或者允許三等分角，那麼只要是

2^a3^b+1

素數，我們應該可以畫出正

2^a3^b+1

邊形，思路還是一樣，藉助Vieta定理湊三數和，三數積與兩兩積的和，之後用一個類似（＊）的公式（那裡面的3需要換成另一個有意義的原根）保證湊出來的結果都是已知結果的線性組合，就可以計算了

——至於這個的證明，就留作習題吧……