先上圖：

我們看上面那個表，我們今天從出門，到最後吃飯，有多少種可能呢？

1 走路過去，吃炒飯

2 走路過去吃餃子

3 走路過去吃麵條

4 走路過去吃稀飯

5 走路過去吃乾飯

6 開車過去吃炒飯

7 開車過去吃餃子

8 開車過去吃麵條

9開車過去吃稀飯

10 開車過去吃乾飯

11 騎車過去吃炒飯

12 騎車過去吃餃子

13騎車過去吃麵條

14騎車過去吃稀飯

15 騎車過去吃乾飯

16 趕公交過去吃炒飯

17 趕公交過去吃餃子

18趕公交過去吃麵條

19趕公交過去吃稀飯

20 趕公交過去吃乾飯

那我們今天一共有20種可能，因為去飯店吃飯，我們分成了兩步，第一步選擇交通工具去飯館，我們有4種方法，第2步，到了飯館以後選吃的，我們有5種選擇，所以一共有

4x5

種可能，這就是乘法原理。

乘法原理：

如果完成一件事，需要分幾步走，而每一步都分別有x，y，n，m種可能，那我們完成這件事就一共有x*y*n*m種可能。

而如果完成一件事，有M種方式，每種方式下又有N種方法，那我們就要把所有方法相加。

還是用吃飯來舉例：

那我們今天吃飯一共有7+6+8=21種可能。

加法原理：

如果完成一件事情有M種方式，每種方式下有不同方法，那就把這些所有方法加起來。

我們來做題：

7， 1到1999的自然數中，有多少個與5678相加時，至少發生一次進位？

我們來看觀察這個數5678，跟另外一個數字相加：

1-1999總共1999個數字，哪些沒有進位呢？如果要沒有進位，那麼這個數應該是下面這樣：

如果是個個位數：只有0，1和5678相加沒有進位，2-9都不行

如果是個十位數：只有十分位選1，2（2種可能），個位選0，1（2種可能），才可能不進位，那就是10，11，20，21（2x2=4）

如果是個百位數，只有百位選1，2，3（3種可能），十位選0，1，2（3種可能），個位選0，1（2種可能），才可能不進位，所以有

100，101，

110，111，

120，121，

200，201，

210，211，

220，221，

300，301，

310，311，

320，321 （3x3x2=18）

如果是千位數，那麼千分位上只能選4，3，2，1（4種可能），百分位上選0，1，2，3（4種可能），十分位上只能選0，1，2（3種可能），個位只能選0，1（2種可能），如下：

4000，4001 3000，3001 2000，2001 1000，1001

4010，4011 3010，3011 2010，2011 1010，1011

4020，4021 3020，3021 2020，2021 1020，1021

4100，4101 3100，3101 2100，2101 1100，1101

4110，4111 3110，3111 2110，2111 1110，1111

4120，4121 3120，3121 2120，2121 1120，1121

4200，4201 3200，3201 2200，2201 1200，1201

4210，4211 3210，3211 2210，2211 1210，1211

4220，4221 3220，3221 2220，2221 1220，1221

4300，4301 3300，3301 2300，2301 1300，1301

4310，4311 3310，3311 2310，2311 1310，1311

4320，4321 3320，3321 2320，2321 1320，1321 一共4x4x3x2=96種可能

所以一次進位都沒有的數字有2+4+18+96=120個

至少有一次進位的數字有1999-120=1879個

8

某訊號兵用紅、黃、藍、綠四色旗各一面，掛在旗杆上表示訊號，不同順序表示不同的訊號，每次可以掛一面，二面或者三面，排成一行表示不同訊號一共可以表示出多少種不同的訊號？

當只掛一面旗的時候，紅，黃，藍，綠，4種可能

當掛兩面旗的時候：

我們分成兩步走，第一步先從4種旗子中選出1種掛在旗子1的地方（4種可能），第二步選1個旗子掛在旗子2的地方（3種可能，因為4個旗子，第一步已經選走1個，還剩3個），所以一共有3x4=12種可能

如果掛三面旗子：

我們分3步走，第1步從4種旗子中選1個掛在旗子1的地方（4種可能），第二步選1個旗子掛在旗子2的地方（3種可能），第三步選1個旗子掛在旗子3的地方（2種可能），所以一共有4x3x2=24種可能

所以一共有4+12+24=40種可能

9

用數字0,1,2,3,4,5,6組數，能組成

個沒有重複數字的三位數，

個沒有重複數字的4位數？

先看3位數：

第一步，先從0，1，2，3，4，5，6，中選1個數字填入百位，既然是3位數，所以百位不能選0，只能從1，2，3，4，5，6（6種可能），第二步再從0，1，2，3，4，5，6（7種可能）選一個數字填入十位，因為不能重複，所以減掉1種可能，6種，第三步再從0，1，2，3，4，5，6選1個數字填入個位數（5種可能），所以一共有6x6x5=180種可能。

再看第2問，如果是個4位數：

第一步，先從0，1，2，3，4，5，6，中選1個數字填入千位，既然是4位數，所以千位不能選0，只能從1，2，3，4，5，6（6種可能），第二步再從0，1，2，3，4，5，6（7種可能）選一個數字填入百位，因為不能重複，所以減掉1種可能，6種，第三步再從0，1，2，3，4，5，6選1個數字填入十位數（5種可能），第4步，從0，1，2，3，4，5，6選1個數字填入個位，（4種可能），所以一共有6x6x5x4=720種可能。