山明Z2021-02-07 11:23:28

我用數學的證來證明不等於1吧。

1-0。999999……=0。00000……1

這樣你們這些數學家明白了嗎？

老張教育新思享2020-04-15 13:18:34

我們周圍有理性思維和感性思維兩種人。理性思維的人思維嚴謹，邏輯清晰；感性思維的人思維發散，注重情感。這兩種人在學習或運用數學知識時，會不自覺地把自身的思維特點帶到舞臺上。

數學來源於生活，同樣也實踐於生活。所以數學既是一門非常理性的課，同樣也是一門非常感性的課。在數學上如何處理好感性與理性的關係，將直接反映著數學的本質問題。

理性思維的人講得比較嚴謹，感性思維的人講得比較形象。

人的思維可以分為兩部分∶感性思維和理性思維。感性思維主要是靠自己的經驗和直覺，去思考和判斷。理性思維主要是靠已經掌握的科學的方法，去思考和判斷。

感性思維活動包含：感覺、知覺、感性概念、本能思維傾向、習慣思維、聯想、想象、情感活動、直覺、定量的度量、模糊的範疇思維、創造性思維。感性思維的特點是自然形成、敏感、自發產生、自動執行、孤立片面、分散並行。

理性思維包含：語言形式的概念、概念的分類、定性思維、範疇思維、邏輯隸屬關係、因果推理、過程流程的思考和規劃、數學與拓撲/集合/立體空間演算、色彩/旋律/佈局的協調性、週期規律、清晰劃界、語言組織和傳播。特點是人為定義與劃分、知識成體系性、形式化、可推理性、突出相互聯絡和相互制約關係、可傳播性、可理解性。

理性思維與感性思維是相互銜接的，從感性過渡到理性，就像植物的根與冠並不是兩個孤立的存在。動物也有感情，也會“喜怒哀樂”的感性表現，但絕對不會使用“演繹歸納”等理性思考方法。地球上只有一種生物具有理性思維的能力，這就是“人”。從感性思維到理性思維的進步，是地球上幾十億年來生物進化的最高結晶。就像人的兩條腿，感性和理性是支撐思維的兩大支柱，兩者相互剋制，缺少了哪一方面都不能構成完整的思維活動

感性思維在數學思維活動中的作用

美國著名教育家

杜威

曾說過：“

一盎司經驗勝過一噸理論

”。經驗是推動知識不斷更新的，經驗成為溝通學生已有的認知結構和新的數學學習活動的橋樑。

數學經驗是數學的感性認識，是在數學活動中積累的。

教育家陶行知曾做過一個很形象的比喻：每個人在學習時，要用自己的經驗做“根”，以這經驗所發生的的知識做“枝”，然後別人的知識才能接上去，別人的知識才能成為我們知識有機體的一個部分。

我們中學課堂學習更多體現在學生的實際操作和圖形語言中。在直觀操作中感知，建立豐富的表象，以此支撐符號語言的認知。因此，開啟文字、符號、圖形與動作語言的通道，從感性到理性，從形象到抽象，來培養思維的深刻性。

荷蘭教育家弗賴登塔爾說：只要孩子沒有對他的活動進行過反思，他就達不到高一層次。因此，學習過程中讓學生及時反思，從感性到理性，把思維引向深刻。

筆者常常在課堂上給學生開闢“糾錯小專家”“金話筒”“小老師”等平臺，鼓勵學生大膽表述自己解決問題的過程，讓學生體會如何用上打比方、舉例子、直觀演示等手段，清晰表達自己的觀點。“說”的過程暴露了學生思考的過程，思考被講述之後內心變得更敞亮。

當下的教育在努力追求一種境界，那就是教給學生“

帶得走的東西”

，而數學學習中“帶得走的東西”，就包括學生忘掉具體數學知識以後，依然能從數學的視角去分析和研究問題的思維習慣，是一種植根於內心的數學素養和無需提醒的文化自覺，即：數學意識。

數學意識通常包括初步的符號意識、建模意識、資料分析意識、應用意識等。數學意識體現在日常生活的方方面面，可謂如影隨形。

對於證明：0。999…… = 1。

對於只接觸過“初等數學”的學生來說，顯然，用感性思維去看待這是一個讓人“無法接受”的結果，甚至於顛覆我們的認知，因為老師一直和我們說的是純小數都比1小。先不看證明過程，至少有幾個地方是值得我們懷疑的。

1）既然兩個數相等，為何不用一個數表示，何必這麼麻煩寫那麼多個9；

2）0。9的迴圈，小數點後面無論多少個9，總感覺比1差那麼一點點。

但理性思維卻又很多證明方法：

證明1（弗雷德·裡奇曼(Fred Richman)）

我們可以利用已知的無限迴圈小數，如：0。333。。。，證明過程如下：

1 = （1/3） × 3

= （0。333。。。） × 3

= 0。999。。。

請問，你對上述證明過程，有疑問嗎？

證明2（大衛·福斯特·華萊士(

David Foster Wallace

)）

設x = 0。999……，於是有：

10x = 9。999……，那麼：

9x = 10x - x = 9。999…… - 0。999……=9

因此x = 1。

同樣，請問，你對上述證明過程，有疑問嗎？

證明3（尤拉(Leonhard Euler)，1770年）

注：此證明過程會用到高中或大學階段“

數列與極限

”。

0。999……可以看成是首項a₁為0。9，公比q為0。1的等比數列：

a₁ = 0。9，a₂ = 0。09，a₃ = 0。009，……

上述數列的所有項之和，就是0。999……。

那麼，我們根據等比數列的求和公式有：

0。999…… = a1/（1-q） = 0。9/（1-0。1） = 1

證明4（極限思維）

上述證明，用到了無限項數列求和。其實在高等數學中，更是有下面極限推導過程：

證明5（閉區間套理論）

1）給定一組區間套，則數軸上恰有一點包含在所有這些區間中；

2）“0。999。。。”對應於區間套［0， 1］、［0。9， 1］、［0。99， 1］、［0。999， 1］ 。。。；

3）而所有這些區間的唯一交點就是 1，所以 0。999。。。 = 1。

證明6（算術平均值）

如果0。999…和1不相等，則兩者的算數平均值必然和這兩者都不相等

（0。999…+1）/2=1。999…/2=0。999…

顯然，只要“1。999…”後面的9無限新增下去，除以2後的商0。999…後面的9也會無限延伸。也就是說“0。999…”和1的算數平均值與他們自身相等。

因此：0。999… = 1。

證明7（消去法）

假如我們把“0。9999。。。”和“0。9999。。。”加起來，我們先考慮擷取有效位小數以後這兩個數的和：

0。9+0。9=1。80。99+0。99=1。980。999+0。999=1。998。。。。。

對於小數點後的任意一位，在取足夠多位的小數之後，總是會穩定為9，因此：

0。999。。。+0。999。。。=1。999。。。

同樣地：

1+0。999。。。=1。999。。。

根據消去率，0。999。。。=1

此題證明源自於“知乎”作者“十一太保念技校”的回答。

請問，你對上述證明過程，有疑問嗎？

證明8（阿基米德）

令0。999…=a， a要麼大於1，要麼小於1，要麼等於1。因為a>1，這是不可能的，所以我們再看a<1的情況：

1）假設a<1，必定存在b，使得a

2）令k=1-b代入上式，於是得到1-a<1-b；

3）不等式移項處理後，得到：a>b，這跟假設“a

所以a<1不成立，故：a=1。

證明9（短除法）

我們用1去短除1，試商時，第一位試為0，如下圖所示：

證明11（兩式相減）

如下兩式：

1）0。999999… × 10 =9。99999…2）0。999999… × 100=99。9999…

把它們相減，得：

0。999999…*90 = 90

所以：0。99999… = 1。

反思與感悟

《數學新課標》中提出：學生的數學學習內容應當是實現的、有意義的、富有挑戰性的，這些內容要有利於學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推測與交流等活動。內容的呈現應採用不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式。因此數學教學要讓學生在親歷中體驗，在體驗和反思中積累，讓經驗的“根”長的更深。

在傳統的教學中，我們數學體現著非常理性的一面，知識的傳授過程崇尚以掌握知識為主，注重的是結果。而新課程則更多地關注知識形成的過程，推崇數學感性的一面。

在數學教學中，把一個分析和處理問題的時間縮短是有效教學的一種策略，把一個問題拉長也是一種策略。縮短可能增加知識的容量，拉長可能提升學習的質量。課堂學習不僅要結論，更要引導學生用個性化的表達來展示思考過程。這個過程猶如登山，

“轉過一座山，繞過一道嶺，眼前又是一座峰”

，思維的過程中充滿著探索，充滿著期待，這種“智力的歷險”恰是思維的一種深層次的“狂歡”。

根據數學其本身的特點和屬性，我們可以從中看出，數學不光是一門非常理性的課，同時也是一門注重感性的課。

在數學上對於感性與理性的融合就好比一男一女合演雙人舞，只要一方發揮不好就難以演出精彩的舞蹈。

2014美國年度教師肖恩•麥考說：學生就像一棵樹，成績只是暴露在地表外的枝丫，思維模式才是深埋地下的樹之根本。數學課堂，我們期待學生樂聽、善思、能辨，這樣的學習體驗對於學生來說是深刻的。

俸旻2020-04-28 08:43:15

實數的定義其實是透過序列的極限（有很多其它等價形式，例如區間套）來做的，所以不要把上面看成數而應該看成兩個序列，它們都代表一這個實數。感性理解毛病在於不知道數的定義，把數和序列等同了。

棋人棋道2020-04-18 13:43:17

我是誰？誰是我？我從哪來，我將何往？

熊貓爬木對2020-04-17 16:33:50

大多沒學過高中數學吧？

無限大＋1＞無限大？

還好他們不知道虛數i，否則會有更多奇怪的事情。

吾所承之道2020-04-16 15:52:44

他們不懂極限，原諒他們。

哈爾測度2020-04-16 13:56:41

這沒什麼可聊的。因為很多人根本不瞭解數學，當他們在討論一個不瞭解的事物的時候，又想裝x表現出自己很瞭解的樣子，就會使用自己僅有“經驗”來推導或者說猜測結論。然而，數學是由邏輯搭建起來的科學，任何所謂的“經驗”都是無效的，只有邏輯推導才有效。所以在專業人士看來他們只是在不知所云，胡說八道罷了。

sclarkca斯克拉克卡2020-11-19 15:29:30

證明：0。999……=1

法1：1/3=0。333……

2/3=0。666……

兩式相加：1=0。999…

法2：令a=0。999……

10a=9。99……

兩式相減：a=1

所以0。999……=1

匹諾曹603022282020-04-18 12:50:30

這反映了東西方文化差弄，我們學的數學主要是西方的，西方人喜歡實驗，他們認為，人類一思考，上帝就發笑，他們喜歡透過實驗去驗證猜想，他們的論文必定充斥大量的實驗資料，並且運用機率說事。

我國幾千年的文化基因過於強大，我們到圖書館裡看中國論文就會發現這種文化，大都在闡明一個觀點時，使用很少的事例來證明，讓我們感覺他說得有道理，但又證明不充分，過於感性，缺乏理性，這與官本位文化有關，我們很多人在表明觀點，重在觀點中我的是正確的，而不是去探索什麼樣的觀點是正確的。

Cr422020-07-18 17:20:41

也會有人認為公理是假設，由此得出數學是基於假設的。這種想法是錯誤的。因為所謂的公理假設，也可以“看成”是規定。如果是在既有規定之下，則數學是絕對的，1+1就是等於2的。

純粹認為1+1=2是完全來自於實際歸納的看法是不全面的。人類可以透過客觀事實部分總結出1+1=2，然後在某個體系下規定一加一等於二；當使用1+1=2解決實際問題的時候辨識出相關理論適合於具體實際問題進而進行理論應用。也就是說，生活中的一加一等於二不一定是歸納範圍內的內容，而可以是理論應用的過程。

另外，數學是可以與物理學相輔相成的，但是數學並不一定是服務於物理的。在物理研究開始之前，很多數學理論已經存在非常久的時間了。就此而言，是不是可以解釋為物理是數學的“實化”呢？

使用者38024281302020-04-18 17:47:41

在初中和小學，把x＞1理解為“x是一個大於1的實數”沒問題，但到了高中，就必須理解為“x是所有大於1的實數中的任意一個”。前者把x理解為定值，後者把x理解為變數，高中如果轉不過這個彎來，數學就廢了。

貓熊6812020-04-18 11:43:33

不懂極限的人推薦一本入門書籍：從一到無窮大。非常受用

孤獨的行者V2020-04-18 05:21:24

證明的方法很多，這是相對簡單明瞭的一種

1/3=0。3迴圈

2/3=1/3X2=0。3迴圈X2=0。6迴圈

3/3=1/3X3=0。3迴圈X3=0。9迴圈