偏導交換順序的條件?
環滁皆山野 發表于 文化2022-09-27
偏導可以交換順序。先對x導然後對y導,與先對y導然後對x導是相等的。證明如下:
函式u對x的偏導是[u(x+dx,y)-u(x,y)]/dx在dx趨向零的極限
得到的結果是個新函式,設為f(x,y)=limit{ [u(x+dx,y)-u(x,y)]/dx}
那麼f(x,y+dy)=limit{ [u(x+dx,y+dy)-u(x,y+dy)]/dx}
將f(x,y)關於y偏導的定義為[f(x,y+dy)-u(x,y+dy)]/dy在dy趨向零的極限
[f(x,y+dy)-u(x,y+dy)]/dy={limit[u(x+dx,y+dy)-u(x,y+dy)]/dx-[u(x+dx,y)-u(x,y)]/dx}/dy
=[u(x+dx,y+dy)-u(x,y+dy)-u(x+dx,y)+u(x,y)]/(dx*dy)
如果按定義先算函式u對y的偏導,然後對x偏導,結果一樣。