偏導交換順序的條件?環滁皆山野2021-11-14 23:08:10

偏導可以交換順序。先對x導然後對y導,與先對y導然後對x導是相等的。證明如下:

函式u對x的偏導是[u(x+dx,y)-u(x,y)]/dx在dx趨向零的極限

得到的結果是個新函式,設為f(x,y)=limit{ [u(x+dx,y)-u(x,y)]/dx}

那麼f(x,y+dy)=limit{ [u(x+dx,y+dy)-u(x,y+dy)]/dx}

將f(x,y)關於y偏導的定義為[f(x,y+dy)-u(x,y+dy)]/dy在dy趨向零的極限

[f(x,y+dy)-u(x,y+dy)]/dy={limit[u(x+dx,y+dy)-u(x,y+dy)]/dx-[u(x+dx,y)-u(x,y)]/dx}/dy

=[u(x+dx,y+dy)-u(x,y+dy)-u(x+dx,y)+u(x,y)]/(dx*dy)

如果按定義先算函式u對y的偏導,然後對x偏導,結果一樣。