azteco2019-07-07 10:52:42

0。101001000100001……這個是無理數，但它只有0和1

思考思考的動物2019-07-07 10:52:31

（以下回答預設十進位制， B = {0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9}）

首先，證明一個相關命題：

如果任意給一段數字，則一定可以找到一個無理數，包含這段數字。

證明：

設，隨意一段數字為： a₁a₂。。。aᵣ，其中 aᵢ ∈ B （i = 1，2， 。。。， r）。

假設， 它不是任意無理數的第 1 到 r 小數位，即，不存在：

x。a₁a₂。。。aᵣx₁x₂。。。 ， x ∈

Z

， xᵢ ∈ B， （i = 1， 2， 。。。 r）

這樣的無理數， 令：

k = 0。a₁a₂。。。aᵣ （ 0 < k < 1）

則上面的假設，說明在區間：

I = （x + k ， x + k + 10⁻ʳ）

中沒有無理數。

我們知道 √2 是無理數，並且有：

1。4 < √2 < 1。5

於是：

0。4 < √2 - 1 < 0。5

0。4 × 10⁻ʳ < （√2 - 1） × 10⁻ʳ < 0。5 × 10⁻ʳ

x + k + 0。4 × 10⁻ʳ < x + k + （√2 - 1） × 10⁻ʳ < x + k + 0。5 × 10⁻ʳ

令：

y = x + k + （√2 - 1） × 10⁻ʳ

因為 √2 是無理數，而 x， k， r 都是有理數，所以 y 是無理數。

另一方面，因為：

x + k < x + k + 0。4 × 10⁻ʳ

x + k + 0。5 × 10⁻ʳ < x + k + 10⁻ʳ

所以：

x + k < y < x + k + 10⁻ʳ

即：

y ∈ I

這和上面 I 中沒有無理數，

矛盾

。故假設不成立，於是：

對於隨意一段數字 a₁a₂。。。aᵣ 一定會 和 某個 無理數的 第 1 到 r 小數位相同。

接著，進入主題：

定義：如果 一個無理數 可以 包含任意給定的一段數字，則稱 其 為

合取數

。

題主問題可表示為，猜想：任意無理數 x 都是 合取數。

分析：

設，隨意一段數字為： a₁a₂。。。aᵣ，其中 aᵢ ∈ B， （i = 1，2， 。。。， r）。

令 P（a₁a₂。。。aᵣ） 為 a₁a₂。。。aᵣ 在 x 中出現的機率，則：

P（a₁a₂。。。aᵣ） = P（a₁）P（a₂）。。。P（aᵣ）

只要 B 中個數字 在 x 中 出現的 機率 不為 0 則每個 P（aᵢ） 就不為 0，於是：

P（a₁a₂。。。aᵣ） ≠ 0

則 猜想 成立。

但是，我很容易將 x 寫成 二進位制形式 x‘，x’ 只包含 0 和 1：

x‘ = b。b₁b₂。。。， bᵢ ∈{0， 1}， （i = 1， 2， 。。。）

由於 x’ 是無限不迴圈的，於是我們可以將 x‘ 當做十進位制（這時 x’ ≠ x），這樣我們就得到了 一個 B 中 P（2） = P（3） = 。。。 = P（9） = 0 的 十進位制無理數 x‘，於是 只要 a₁a₂。。。aᵣ 有 aᵢ ≠ 0 或 1，則 x’ 就不包括 a₁a₂。。。aᵣ ，這與 a₁a₂。。。aᵣ 的任意性，違背，於是很遺憾題主的猜想 不成立，即：

不是任取一個無理數都可以包含任意給定的一段數字的。

數學上稱 B 中數字 出現機率 相同（均為 1/10） 的 無理數為

正規數

。對於 正規數 來說 P（a₁a₂。。。aᵣ） = 10⁻ʳ ≠ 0，於是 猜想 成立，即：

任意 正規數 包含任意給定的一段數字的。①

試驗表明，√2，π，e 接近 正規數，但我們無法證明 它們是 正規數。事實上，我們也無法證明任何一個無理數是 正規數 或 合取數。這也就是說：我們雖然得到了上面的結論 ①，但是毫無用處。

循天法常2019-07-07 07:40:45

不能。包含任意數字組合的叫合取數，無理數並不都是合取數。比如π，雖然已經算到31。4萬億位，從已知結果來看應該是合取數，但在數學上還不能證明——我們甚至不能證明π是否包含無窮個2

仙界修魔2019-07-09 09:12:29

無理數沒有規定的表達方式，一部分可以有理數加運演算法則來表示。絕大部分根本找不到表示式。任意寫一段數字，加運算子號，本身可以組成無窮量的無理數。有理數加無理數可以構造無理數，有理數加無理數再加其他運算子號也可以構造無理數……

如2，運算子號，開方，實數的任意次方基本都是無理數，只有0次方和1次方是有理數。三角函式，sin2……也是無理數，對數，lg2……以任意實數為底構造無理數。

無理數太多了，有理數少得可憐。

使用者43426714349022019-07-07 07:58:17

無理數的定義是什麼？你任意寫也是有理數，無理數是無限不迴圈小數

Colink2019-07-07 14:42:30

可以，隨便構造一個無理數包含這段數就行。比如把這段數插到丌裡

lgp36512019-07-07 09:49:22

是。任意取一段數字，“一段”代表確定位數，即有限位數，那麼無限一定包含有限。

濤2311742442019-07-07 07:24:13

肯定的啊，無理數是無限不迴圈的，既然是無限，那麼包含一切可能，比如，可以包含世界上所有人的身份證號碼。