胡安安麻麻2021-09-12 13:01:22

一、充分條件與必要條件

我們在上一節課學習了命題與推出的關係，命題的四種形式，等價命題，你能分別概括出它們的內容和性質嗎？

如：寫出下列兩個命題的條件和結論，並判斷是真命題還是假命題？

（1）若2

2

x a b >+，則2x ab >， （2）若0ab =，則0a =。 易得出結論；命題（1）為真命題，命題（2）為假命題．

討論：對於命題“若p ，則q ”，有時是真命題，有時是假命題．如何判斷其真假的？ 我們將由此推出關係，引入新的概念：

給出定義：

命題“若p ，則q ” 為真命題，是指由p 經過推理能推出q ，也就是說，如果p 成立，那麼q 一定成立．

換句話說，只要有條件p 就能充分地保證結論q 的成立，這時我們稱條件p 是q 成立的充分條件．

一般地，“若p ，則q”為真命題，是指由p 透過推理可以得出q ．這時，我們就說，由p 可推出q ，記作：p ？q ． 1、充分與必要條件的概念：

（1）充分條件：

若αβ？，則α是β的充分條件； （2）必要條件：若βα？，則α是β的必要條件；

（3）充要條件：

若既有αβ？，又有βα？，則α是β的充分必要條件，簡稱充要條件，

β也是α的充要條件。

2、推出關係具有傳遞性：若αβ？，βγ？，則αγ？，若αβ？，βα？，則αβ？，稱α與β等價。

3、充要條件的證明：

證明過程必須是“雙向”的，即：既要由條件推出結論（充分性），又要由結論推出條件（必要性）。

358團楚雲飛在此2022-01-31 18:21:20

學習簡易邏輯裡的充分、必要條件時，我們常常發現題設條件有這樣兩類：一類是幾何知識，包括平面與立體幾何；另一類是代數知識。

這裡說說有關代數知識的題，如何透過集合關係判斷條件型別。

1、首先假定條件p、q成立，解出對應的變數範圍，分別記為集合A、B（若某條件因不合常識等原因而不能成立，則對應集合為空集）。

2、然後判斷，A是B的子集，則p是q的充分條件，q是p的必要條件。

再進一步說，

（1）若A=B，則p、q互為充要條件。

（2）若A是B的真子集，則p是q充分不必要條件，q是p的必要不充分條件。

（3）若A、B互無子集關係，則p、q互為既不充分也不必要條件。

3、反之，由條件型別求引數範圍也是如此，轉化為子集關係即可（基礎差的同學常需要在數軸上規範作圖，以確保正確，並養成良好思維習慣——數形結合找方向與思路）。