大寶82112021-01-05 13:22:32

調和函式的第一個驚人性質是它的解析性，也就是說，調和函式在定義域內每一點是可以進行無窮次泰勒展開的，這就意味著調和函式是光滑的，或者說無窮次可導的。為什麼說這個性質好呢？注意到，定義調和函式時我們僅僅要求它存在二階偏導數，但實際上這樣的定義只用極少的要求就保證了函式的光滑性，可謂化腐朽為神奇。

但解析性並非調和函式的本質特徵，實際上，調和函式的最本質的性質是滿足所謂的平均值原理。而且為了獲得調和函式更好的性質，一般我們會在有界區域中考慮這些問題，還會要求函式具有連續或可導的邊值。那麼，什麼是平均值原理呢？簡單來說，就是函式u在一點x的值等於函式在以x為中心的球區域中體積積分或面積積分的平均值（透過簡單的積分計算可以證明，這兩種積分平均值是等價的）：

為什麼說平均值原理是調和函式最本質的特徵呢，這是因為調和函式幾乎所有的重要性質都可以從平均值原理推匯出來，例如上面說過的解析性。而且更重要的是，平均值性質完全刻畫了調和函式，這就是如下的結論：

調和函式的另一個重要性質是極值原理：

調和函式如果不是常數，那麼它不能在內部取到極大值或極小值。

由極值原理，我們立即可以獲知，調和函式由其邊值唯完全決定：

如果我們從更高的角度來看調和函式，也就是將定義△u=0看成是一個偏微分方程（準確來說是一個拉普拉斯方程），那麼調和函式就是這個方程的解，而極值原理就告訴我們，在給定邊值的情況下，解是唯一的。實際上，如果區域足夠特殊（一般來說是球）的話，我們是可以透過邊值條件直接得到這個解的，而這又要涉及到泊松積分，泊松積分又要聯絡著格林函式。