音樂解說0t3q2021-05-28 12:56:21

調和函式是定義在R^n某個區域上並且在該區域內滿足滿足拉普拉斯方程（△u=▽²u=0）的函式。

關於調和函式有一個均值定理，就是說調和函式在某點的任意有定義的球領域上的面積分和球領域內的體積分的平均值均為該點的值。而且如果一個函式擁有這樣的均值性質，那麼可以證明它是調和函式，也就是說上面這個定理左右兩邊是等價的。從均值性質可以推出非常數調和函式在區域內取不到最值，如果非常數調和函式在區域的邊界上也有定義的話，那麼該調和函式必然只能在區域的邊界上取最值。而且，從定義上來說調和函式僅僅是C2的，但可以由C2推到C∞。調和函式的各階導數還可以由不等式控制，這直接推出了它的另一個性質：定義在R^n上的有界的調和函式必然是常數。由不等式還可以推出調和函式必然解析，所以以後可以直接預設它是解析的。

以上定理的證明在evans的pde裡面有。

還有一個比較有趣的事情，定義在R^2上的有下界或有上界（不一定有界）的調和函式必然是常數（上面說的是有界必然為常數，這個條件明顯弱一點）。這個性質出現在譚小江老師的複變函式簡明教程的調和函式那章的習題中。證明是找一個共軛調和函式形成復解析函式，然後運用weierstrass定理（非常數整函式必然在複平面中稠密，但它的實部有上界或下界顯然不能使它稠密）證明。當然，此定理在R^n上也成立，用harnack不等式證明即可。

最後，自由電場勢能和引力勢能等都是調和函式，所以自由電場和引力場中也會有調和函式的相應性質。